等比数列的有关概念公式与性质

等比数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}na：若满足1(nnaqqa为常数），则数列{}na叫做等比数列（2）等比数列的证明方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。（3）等比中项：若,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。由此得非零实数,,aAb成等比数列abA22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()nnnaaaqqnNq；（2）两项之间的关系式：mnmnqaa（3）前n项的和公式为：11(1),11,1nnaqqSqnaq或11,11,1nnaaqqqSnaq3.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有qpnmaaaa..，特别地当2mnp时，则有2.pnmaaa(2)若{}na是等比数列，且公比1q，则数列232,,nnnnnSSSSS，…也是等比数列，公比nqQ；当1q，且n为偶数时，数列232,,nnnnnSSSSS,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若10,1aq，则{}na为递增数列；若10,1aq,则{}na为递减数列；若10,01aq，则{}na为递减数列；若10,01aq,则{}na为递增数列；若0q，则{}na为摆动数列；若1q，则{}na为常数列.(4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，这是等比数列前n项和公式特征.(5)在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.1212321nnnaaaaa(6)数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列，故常数数列{}na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。(7)若na是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；(8)两个等比数列{}na与{}nb的积、商、倒数的数列{}nnab、nnba、nb1仍为等比数列．（9）若{}na是正项等比数列，则数列ncalog（1,0cc）为等差数列。二、典型例题：例1．（1）在等比数列1020144117,5,6,}{aaaaaaan则中=（）A．2332或B．2332或C．515或D．2131或（2）设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则52SS（）（A）11（B）5（C）8（D）11（3）已知na是等比数列，41252aa，，则13221nnaaaaaa=（）（A）16（n41）（B）16（n21）（C）332（n41）（D）332（n21）（4）三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列nmnm的值为则nmnm22（）A．－1或3B．－3或1C．1或3D．－3或－1（5）定义在(,0)(0,)上的函数()fx,如果对于任意给定的等比数列{}na,{()}nfa仍是等比数列,则称()fx为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)上的如下函数:①2()fxx;②()2xfx;③()||fxx;④()ln||fxx.则其中是“保等比数列函数”的()fx的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④（6）已知等比数列na为递增数列,且251021,2()5nnnaaaaa,则数列的通项公式na______________.（7）在等比数列na中，已知1231aaa，4562aaa，则该数列前15项的和15S（8）已知ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.例2．已知{}na是各项均为正数的等比数列，且1234123411112,32.aaaaaaaa（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设22lognnnbaa，求数列{}nb的前n项和.nT例3．（1）已知等比数列na的公比为1=2q.(1)若31=4a,求数列na的前n项和;(Ⅱ)证明:对任意kN,+2,,kkkaaa成等差数列.（2）设na的公比不为1的等比数列,其前n项和为nS,且534,,aaa成等差数列.(1)求数列na的公比;(2)证明:对任意kN,21,,kkkSSS成等差数列.四、巩固练习1．在正项等比数列na中，991,aa是方程016102xx的两个根，则605040aaa的值为（）A．32B．64C．±64D．2562.在等比数列na中，11a，公比1q.若12345maaaaaa，则m=（）（A）9（B）10（C）11（D）123.已知na是首项为1的等比数列，ns是na的前n项和，且369ss，则数列1na的前5项和为（）（A）158或5（B）3116或5（C）3116（D）1584．各项均为正数的等比数列{}na的前n项和为nS为，若2nS，314nS，则4nS等于（）.A80.B30.C26.D165.数列{}na的通项222(cossin)33nnnan，其前n项和为nS，则30S为（）A．470B．490C．495D．5106.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时2123221logloglognaaa（）A.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n7.设na是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知241aa,37S,则5SA．152B．314C．334D．1728.正项等比数列na满足142aa,133S,nnab3log,则数列nb的前10项和是()A．65B．－65C．25D.－259.已知数列na的前n项和22nnpS，na是等比数列的充要条件是()A.1pB2pC.1pD.2p11.满足*12121,loglog1()nnaaanN，它的前n项和为nS，则满足1025nS的最小n值是（）A．9B．10C．11D．1211.在等比数列{}na中，若1234158aaaa，2398aa，则12341111aaaa等于()A．53B．35C．53D．3512.}{na为公比1q的等比数列，若2004a和2005a是方程24830xx的两根，则20062007aa．13.等比数列}{na的公比为q，前n项和为nS，若1nS，nS，2nS成等差数列，则q的值为14.na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban，若数列nb有连续四项在集53,23,19,37,82中，则6q=.15.已知等差数列}{na的公差0d，且931,,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa的值为．16.数列{}na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列{}nb为等比数列，且113,1ab，数列{}nab是公比为64的等比数列，2264bS.（1）求,nnab；（2）求证1211134nSSS.18．在等比数列na中，0na（nN），公比(0,1)q，且153528225aaaaaa，3a与5a的等比中项为2。（1)求数列na的通项公式；(2)设2lognnba，数列nb的前n项和为nS当1212nSSSn最大时，求的n值。19.数列的等比数列公比是首项为41,41}{1qaan，设*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{（1）求证：}{nb是等差数列；（2）求数列}{nc的前n项和nS；（3）若对1412mmcn一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。数列求和问题一、主要方法：1．基本公式法：（1）等差数列求和公式：11122nnnaannSnad（2）等比数列求和公式：11,11,11nnnaqSaqqq（3）2)1(4321nnn：6)12)(1(3212222nnnn2．错位相减法：设na成等差数列，nb成等比数列。则nnab的前n项和可采用此法。3．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。4．裂项相消求和：把一个数列的通项拆成两项差的形式已达到求和目的.常用裂项形式有：①111(1)1nnnn；②)121121(21)12)(12(1nnnn；③一般的有：1111()()nnkknnk；④11kknnknn；⑤一般的na是等差数列，则)11(1111nnnnaadaa（d是公差）5.倒序相加法：二、典型例题分析：例1.求下列数列的前n项和nS（1）已知数列na满足52nan，求na的前n项和nS。（2）求221211nS…121n)(Nn例2．求下列数列前n项和：（1）已知数列na的通项公式为nnna21)23(,)(Nn,求其前n项和nS（2）数列11，103，1005，…，nn1012。求nS（3）9，99，999，…，9999999个n。求nS例3．求下列数列前n项和：（1）已知)1(4nnan,)(Nn,求其前n项和nS（2）数列113，124，135，…，1(2)nn求nS（5）已知：11nann，求nS（5）已知：nan3211，求nS例4．求下列数列前n项和（1）nnnS223222132（2）nSa+22a+33a+…+nna（0)a；例5.（1）求数列14，27，330，…，31nn的前n项和。（2）已知数列na的通项公式为2=(2-1)nan，求nS。（3）已知函数.424)(xxxf则①)32()31(ff；②1232010()()()()2011201120112011ffff.三、巩固练习1．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（）A．5880B．5539C．5208D．48772．已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．1863.在数列}{na中，9,11nnSnnna项和若其前，则项数n为（）A.9B.10C.99D.1004.数列数列21211,12,122,1222,n的前n项和等于（）A．nn12B．221nnC．12nnD．22nn5.设5033171,)1(4321SSSnSnn则=（）A．－1B．0C．1D．26.数列{na}的前n项和22221,12nnnaaaS则（）A．2)12(nB．)12(31nC．14nD．)14(31n7．设)(xfy是一次函数，若(0)=1f，且(1),(4),(13)fff成等比数列，则(2)+(4)++(2)fffn等于（）A．n(2n+3)B．n(n+4)C．2n(2n+3)D．2n(n+4)8.已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于A．55B．70C．85D．1009．设等比数列na的前n项和为nS，前n项的倒数之和为nT，则nnTS的值为（）.A．1