文明礼仪班队活动方案及总结

1关键词：独立增量过程泊松过程布朗运动第十二章泊松过程与布朗运动§1独立增量过程(),0,,0()()XttststXtXsst给定二阶矩过程，对，若称随机变量为随机上过程在区间的增量；01102110,()(),()(),()()(),0nnnntttnXtXtXtXtXtXtXtt对任意选定的正整数和任意选定的个增量相互独立，称为独立的增量过程；在互不重叠的区间上，状态的增量是相互独直立观地说，它具有“”的这一特征.0,()()()()hshthXthXshXtXs若对任意的实数，增量具与同分布，称有平稳性；()()()(0)(0)XtXsXtsXtsst这时，增量与同相同，只依赖于。()平稳独立增齐次量+平稳增量=独立增量4独立增量过程的性质：(),0(0)0,XttX若是独立增量过程，且则：()()()(01.)XtXtXsst的有限维分布函数族可以由增量的分布所确定；121212211111121211,,(),(),()()(0),()(),...,()()(),(),()()(0),()(),,()()nnnniiiiiinnnnttttttXtXtXtXtXXtXtXtXtXtXtXtXtXXtXtXtXt事实上，对任意的及任意的，不妨设,则：即的分布函数可由：的分布函数确定。()(,)(,2.)XXXDtCstDminst设已知，则[()(0)],[()()][()(0)]CovXsXXtXsXsX,(,)[(),()]XstCstCovXsXt证明：设则0()()XDXsDs,(,)()XXtsCstDt同理当时可证得[()(0)],[()()][()(0)]CovXsXXtXsDXsX§2泊松过程()(0)0,(),0NtttNtt以表示在时间间隔内出现的质点数，是一状态取非负整数、时间连续的随机计过程，称为数过程。000000(,)()()0,(,)(,)0,1,2kNttNtNtttttPttPNttkk记，它表示时间间隔内出现的质点数，其概率记为：5t4t3t2t1t()Nt等间隔的不等间隔的（一）泊松过程定义及数字特征{(),0}Ntt定义：计数过程满足强度为如的下条件，称作泊松过程。{();0}1.Ntt是独立增量过程；1200,(,)(,)1(),,2(,)(),(2.)jjttPtttPNttttotPNtttPtttotNt对于任意的及充分小的,其中常数称为的强度；(03.0)N。000()000()(,),()0,1,2,!,~()kkttNtPttPNttkttekkNtttt若是强度为的泊松过程，则：即000,,0PtttPNttt证明：000,,PttPttt条件1＝0,,0PNttNttt000000,,,PtttPttPtttot即0,0,,0PNttNttt200,1Ptttot条件＝000000,,,PtttPttPtttot即0000,,dPttPttdt00000(,)0(,)1,NttPtt由即为初始条件0()000(,)ttPttett解得：0tt等式两边除以，令，得：0(,)1kPttk再来计算00(,),,kPtttPNttNtttk00,,kjPNtttjPNttkj00010(,)(,),,kkkkPtttPttPttPtttot0011002,,,,,,kkkjkjjPtttPttPtttPttPtttPtt0101,,kktotPtttotPttot00010(,)(,),,kkkkPtttPttPttPtttot0tt两边除以，令，得：00100,,,kkkdPttPttPttttdt00100,[,],kttkkdPttePttePttttdt等价地，010,,tktkdePttePttdt01001000,0,.ttPttPttttett初始条件，可得，0010100,1,,ttttdePttkedtPtttcett令，于是010,,tktkdePttePttdt证毕0100101(),,,(1)!kttktkkttdePttePttedtk利用数学归纳法，设时命题成立，则000(),{}!kttkttePttcek从而，010,,tktkdePttePttdt00,0,1,kPttk初始条件就可求得：00()000(),,,!0,1,2kttkttPttPNttkettkk000(,)Ntttttt由此可见，增量的概率分布是参数为()的泊松分布，且只与时间差有关，所以强度为的泊松过程是一齐次的独立增量过程。000(),02.0,()()~3.(0)0(),0NttttNtNtttNNtt泊松过程也可用另一形式定义：若计数过程满足下列三个条件：1.它是独立增量过程对任强度为意的增量则称是一的泊松过程强度为的泊松过程的数字特征：0001.,ENttENtNttt；00002.,000,NNDNttDNtNttttNtENttDtDNtt，特别地，，由假设，可得：；3.,,,,0NNCstDminstminstst，；24.,,,,0NNNNRstCststminststst，。(),0{(5)4};{(5)4,(7.5)6,(12)9};{(12)9(5)4};(4){(5)4(12)9};(5)[(5)],[(5)],[(5),(12)].NttPNPNNNPNNPNNENDNCovNN例12：设{}服从强度为的泊松过程，求(1)(2)(3)45(1)P54(5)4!Ne解：(2)54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3PNNNPNNNNN4522.534.5[(5)4!][(2.5)2!][(4.5)3!]eee(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4PNNPNNN57(12)(5)5(7)5!PNNe(5)E[N(5)]=5,55,DN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9PNNPNNPN(5)4(12)(5)5(12)9PNPNNPN455749449912(5)4!(7)5!551.1212(12)9!eeCe[(5),(12)]55.CovNNDN:{(0.5)1,(2.5)5}PNN解:例顾客依泊松过程到达某商店,速率为4人/小时,已知商店上午9:00开门,求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时已到5位顾客的概率?842{(0.5)1}{(2.5)-(0.5)4}8(2)()0.01554!PNPNNee（二）泊松过程的合成与分解()()(0)()()(){();0}XtYttNtXtYtNtt设和是两个相互独立的，分别具有强度和的泊松过程，，则是强度为的泊松过程。{();0}Ntt证明：首先，是计数过程，因此只要证明其满足定义的三个条件即可。1()()(0)()()()XtYttNtXtYt（）因为和是两个独立增量过程，因此也是独立增量过程。（2）对任意的和充分小的，有0t0t[()()1]{[()()][()()]1}PNttNtPXttXtYttYt[()()1][()()0][()()0][()()1]PXttXtPYttYtPXttXtPYttYt(1)(1)()()()ttttttt24（2）对任意的和充分小的，有0t0t[()()2]{[()()][()()]2}PNttNtPXttXtYttYt[()()0][()()2][()()1][()()1][()()2]()PXttXtPYttYtPXttXtPYttYtPXttXtt(3)(0)(0)(0)0NXY泊松过程的分解设表示内出现的事件数，而每次事件的发生又分为情形A或B。如进商场的人可能购物，可能不购物；收到的短信可能是有用的，可能是垃圾短信，等等。设情形A发生的概率为，情形B发生的概率为，且各事件属于A或B相互独立。表示内出现情形A的次数，表示内出现情形B的次数。若是强度为的泊松过程，则是强度为的泊松过程，是强度为的泊松过程，且过程与相互独立。()(0)Ntt(0,]tp1p()Xt(0,]t()Yt(0,]t{();0}Ntt{();0}Xttp{();0}Ytt(1)p{();0}Xtt{();0}Ytt0,0,{(),()}mnPXtmYtn对于任意的证明：因为N(t)是独立增量过程，所以X(t)和Y(t)也都是独立增量过程，且X(0)=0,Y(0)=0。接下来只要证明，X(t)和Y(t)相互独立，服从泊松分布即可。(1)()((1))[][]!!mnptptptpteemn{(),()}PXtmNtmn{()|()}{()}PXtmNtmnPNtmn()(1)()!mnmmntmntCppemn()!mptptem0{()}{(),()}nPXtmPXtmYtn(1)0()((1))[][]!!mnptptnptpteemn()(0,]{();0}10NttNtt例：设表示手机在天内收到的短信数，假设是强度为条的泊松过程，其中垃圾短信占20％。求（1）两天内至少收到10条短信的概率；（2）一天内没有收到垃圾短信的概率。2090201{(2)10}10.995!kkePNk解：（）2{(1)0}0.135PXe()(0,]{();0}2XttXtt(2)设表示手机在天内收到的垃圾短信数，则是强度为条的泊松过程。1nWn设是第个质点出现等待的等时间的分布待时间，nnWnWFtPWtPNtn的分布函数（三）时间间隔与等待时间nnWWft下面给出的概率密度：0,nttn即第个质点出现的时间内至少个质点出现nnWnWFtPWtPNtn的分布函数