概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布函数

随机变量及其分布Chapter2RandomvariableandDistribution目录CONTENTS随机变量及其分布2.12.22.32.4常用的连续型随机变量常用的离散型随机变量随机变量函数的分布§2.1随机变量及其分布函数RandomvariableanddistributionE4：在土地里种下一粒种子。E1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数Ω1={0，1，2，3，……}E2：扔一个骰子，出现的点数Ω2={1，2，3，4，5，6}Ω4={发芽，不发芽}E5：在工厂生产的零件中任取一件。Ω5={正品，次品}E3：检验灯泡的寿命Ω3={t|t≥0}随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！引例:§2.1随机变量及其分布函数E4：在土地里种下一粒种子。Ω4={发芽，不发芽}E5：在工厂生产的零件中任取一件。Ω5={正品，次品}随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！0,,()1,.XX不发芽发芽1,,()1,.XX次品正品由于试验的结果是随机的，因而X=X(ω)的取值也是随机的，所以将X=X(ω)称为随机变量！在样本空间上定义一个集合函数(),XX例如：设X={某路口在一段时间内通过的车辆数}{04}XA={通过的车辆数不超过4}{6}XB={通过至少6辆车}设X={取到次品的件数}{2}X={至多取到2件次品}=A{2}X={恰好取到2件次品}=B今后，我们用随机变量的取值和取值范围来表示随机事件！定义1设随机试验E的样本空间为Ω={ω},称定义在𝛀上的单值实值函数为随机变量,记为R.V.X.(randomvariableX)。②取值或取值范围的概率？例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。样本空间𝛀={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}设X={正面向上的次数}0,TTT对于任意区间（a，b](,](,]ba()PaXb((,](,])Pba更为一般的，我们来讨论随机事件{a𝑋≤𝑏}的概率𝑃(𝑎𝑋≤𝑏)定义2设X为随机变量,x为任意实数,函数}{)(xXPxF为随机变量X的分布函数(distributionfunction)。Definition2LetXbearandomvariableonthesamplespace.Thenthefunction𝐹𝑋=𝑃𝑋≤𝑥𝑥∈𝑅iscalledthedistributionfunctionofX.分布函数F(x)是随机事件{X≤x}的概率,它是一个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.xxX随机点实数点}{)(xXPxF分布函数利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质:1、0≤F(x)≤1;2、F(x)在其间断点处是右连续.3、F(-∞)=0,F(+∞)=14、F(x)是单调不减函数,即对任意实数x1,x2(x1x2),有F(x1)≤F(x2);5、P{x1X≤x2}=F(x2)-F(x1)图像值域范围图像左右趋势间断点右连续(离散型)图像自左至右呈上升利用分布函数计算事件概率0000lim()(0)()xxFxFxFx【例1】设随机变量X的分布函数为),(arctan)(xxBAxF试求(1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。〖解〗（1）由()lim()1xFFx()lim(arctan)xFABx()lim(arctan)xFABx解得：.1,21BA于是，分布函数为：).(arctan121)(xxxF（2）由分布函数计算事件概率公式得：)1()1(}11{FFXP)4(1214121.21解：已知分布函数为：).(arctan121)(xxxF()()()PaXbFbFa【例1】设随机变量X的分布函数为),(arctan)(xxBAxF试求(1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。【例2】设随机变量X的分布函数为,0()0,0xaebxFxx求:常数a和b。1,1ab解：因为F(x)在x=0点右连续所以00lim()lim()xxxFxaeb0ab()lim()xxFaeb又因为故1b3、F(-∞)=0,F(+∞)=1§2.1离散型随机变量Discreterandomvariable一、概念定义2设离散型随机变量X所有可能取值为,且X取各个可能值的概率为nxxx,,,21),2,1(kxXPpkk定义1若随机变量X的全部可能取值为有限个或可列无限个可能值,则称X为离散型随机变量.nxxx,,,21称为离散型随机变量X的概率分布(分布律或分布列).注意：离散型随机变量X的概率分布(分布律或分布列)与分布函数不是一回事！()()FxPXxDiscreteDistribution数列:);,2,1(kxXPpkk1x2xnxX1p2pnpkp分布列的表示方法:表格:概率分布图：PX1x4x3x2x0.51由概率的性质易知离散型随机变量的分布列满足下列特征性质:1kkp①),2,1(0kpk②11kkp[非负性][规范性]用于确定待定参数③()()FxPXx().iixxPXxxxX随机点实数点NonnegativityNormalizationAdditivity注意Attention对离散随机变量的分布函数distributionfunction应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.Figure1Thedistributionfunction【例1】给定离散型R.V.X的分布列如下：42.52X4ckp1.53c2c3c解：43231cccc112c所以有：42.52X13kp1.5141614(1)PX(32)PX求：①常数C；②分布函数F(x)③概率②11kkp42.52X13kp1.5141614求：②分布函数F(x)③概率(1)PX(32)PX解：42.521.5当时，4x在内不含X的任何取值(,]x()()0FxPXx42.521.5当时，42.5x在内含X的一个取值(,]x1()()(4)3FxPXxPX()()FxPXxx42.521.5当时，2.52x在内含X的2个取值(,]x()()(4)(2.5)FxPXxPXPX42.521.5当时，21.5x在内含X的3个取值(,]x()()(4)(2.5)(2)FxPXxPXPXPX11734123111346442.521.5当时，1.5x在内含有X的全部取值(,]x()()(4)(2.5)(2)(1.5)FxPXxPXPXPXPX111113464综上所述：0,41,42.537()(),2.52123,21.541,1.5xxFxPXxxxx2.542137121.5341因为X的可能取值中没有1，所以(1)PX()0P(32)PX()().iixxPXxPXx42.52X13kp1.5141614求：③概率(1)PX(32)PX解：(2.5)(2)(1.5)11124643PXPXPX§2.2常用离散型随机变量的分布1、两点分布或（0-1）分布定义1设离散型随机变量X的分布列为01X1pkpp则称X服从（0-1）分布，记作X～（0-1）分布0,0()1,011,1xFxpxx（0-1）分布的分布函数11-p01F(x)x其中0p1two-pointdistribution设随机试验E的只有两个样本点：，其中则称这种试验为贝努利试验(Bernoulliexperiment)。AA,),10()(ppAP显然，贝努利试验服从（0-1）分布若将一个贝努利试验独立重复地做n次，则称之为n重贝努利试验。各次试验的结果互不影响每次试验中P(A)=p例如：①抛一枚硬币，观察正反面出现的次数。这是一个一重贝努利试验。②若将一枚硬币连抛n次，观察正反面出现的次数。令A表示出现正面，那么这是一个n重贝努利试验。③袋中有a个红球，b个白球，任取一球，观察其颜色，令A表示“取到红球”，则若连续有放回的取n次，那么这是一个n重贝努利试验。()aPAab问题：n重贝努利试验服从什么分布？注意：不放回抽样取n次，不是n重贝努利试验！假设在n重贝努利试验中，用X表示事件A发生的次数那么X是一个离散型随机变量，其可能取值为0,1,2…，n求：P(X=k)=?k=0,1,2,….,n假设在n重贝努利试验中，用X表示事件A发生的次数那么X是一个离散型随机变量，其可能取值为0,1,2…，n求：P(X=k)=?k=0,1,2,….,n现在：取n=3，k=2,即进行3次贝努利试验，事件A发生2次的概率。设Ai=事件A在第i次发生（i=1,2,3）,{2}X123123123{2}()PXPAAAAAAAAA123123123()()()PAAAPAAAPAAA123123()()()()()()PAPAPAPAPAPA123()()()PAPAPA22323(1)Cpp123123123AAAAAAAAA()iPApX=“三次试验中A发生的次数”，)10;,2,1,0()1(}{pnkppCkXPknkkn2、二项分布binomialdistribution).,(~pnBX则称X服从参数n，p的二项分布，记为特别的，当n=1时，称之为两点分布或0-1分布。1()(1),0,1kkPXkppk设n重贝努利试验中事件A发生的概率为令随机变量X表示“n次试验中事件A发生的次数”，则其可能取值为0，1，2，……，n，且其分布列为()(01),PApp例2.2.1一批产品中，一等品率为20%，从这批产品中任取20件，则取出的产品中至少2件一等品的概率？解：设X表示20件产品中一等品的件数，则X的可能取值为0,1,2…，20A=抽检产品为一等品()0.2PA~(20,0.2)XB(2)PX1(1)PX1(0)(1)PXPX0020111920201(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)CC20重贝努利试验{}(1)kknknPXkCppX表示“n次试验中事件A发生的次数”例2.2.2某种特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？9885.005.095.005.095.005.095.0)10()9()8()8(01010101910928108XPXPXPXP令X表示治愈的人数，则~(10,0.95)XBX表示“n次试验中事件A发生的次数”=𝟏𝟎𝟖𝟎.𝟗𝟓𝟖×𝟎.𝟎𝟓𝟐+𝟏𝟎𝟗𝟎.𝟗𝟓𝟗×𝟎.𝟎𝟓𝟏+𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟓𝟏𝟎×𝟎.𝟎𝟓𝟎由此得：从而解得:p=2/3.例2.2.3设，已知，求~(2,),~(4,)XbpYbp(1)89PX(1)PY解:由，知P(X=0)=1/9.(1)89PX所以