因式分解技巧(单�著)

第1页共87页目录0什么是因式分解0011提公因式0021．1一次提净0021．2视“多”为一0031．3切勿漏10031．4注意符号0041．5仔细观察0041．6化“分”为整005习题10062应用公式0072．1平方差0072．2立方和与立方差0082．3完全平方0082．4完全立方0092．5问一知三0102．6121984不是质数011习题20123分组分解0133．1三步曲0133．2殊途同归0133．3平均分配0143．4瞄准公式0153．5从零开始015习题30174拆项与添项0184．1拆开中项0184．2皆大欢喜0184．3旧事重提0194．4无中生有0194．5配成平方020习题40215十字相乘0225．1知己知彼0225．2孰能生巧0245．3再进一步0255．4二次齐次式0265．5系数和为零027第2页共87页习题50286二次二次式的分解0296．1欲擒故纵0296．2三元齐次0316．3项数不全0326．4能否分解032习题60347综合运用0357．1善于换元0357．2主次分清0377．3一题两解0387．4展开处理0397．5巧运匠心040习题70428多项式的一次因式0448．1余数定理0448．2有理根的求法0458．3首1多项式0478．4字母系数049习题80509待定系数法0519．1二次因式0519．2既约的情况054习题905510轮换式与对称式05610．1典型方法05610．2齐次与非齐次05910．3abcba332206110．4焉用牛刀06210．5整除问题06310．6原来是零06510．7四元多项式067习题1006811实数集与复数集内的分解07111．1求根公式07111．2代数基本定理07311．3单位根07411．4攻玉之石076习题1107912既约多项式080第3页共87页12．1艾氏判别法08012．2奇与偶08112．3分圆多项式08312．4绝对不可约085习题12085习题答案087第4页共87页0什么是因式分解在小学里，我们学过整数的因数分解．由乘法，得3×4=12反过来，12可以分解：12=3×4．当然，4还可以继续分解为2×2．于是得12=3×2×2．这时12已经分解成质因数的乘积了．同样地，由整式乘法，得223(12)(1)122xxxxx＋－＝＋－－．反过来，23122xxx＋－－可以分解为两个因式1+2x与21x－的乘积，即232122121xxxxx＋－－＝＋．21x还可以继续分解为11xx．于是23122(12)(1)(1)xxxxxx＋－－＝＋＋－，这里x的一次多项式1+2x、1+x、1-x都不能继续分解，它们是不可约多项式，也就是既约多项式，所以，23122xxx＋－－已经分解成质因式的乘积了．把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．每一个乘式称为积的因式．在因式分解中，通常要求各个乘式（因式）都是既约多项式，这样的因式成为质因式．因式分解的方法，我们将逐一介绍．第5页共87页1提公因式学过因式分解的人爱说：“一提、二代、三分组．”“提”是指“提取公因式”．在因式分解时，首先应当想到的是有没有公因式可提．几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如mambmc、、都含有因式m，m就是它们的公因式．由乘法分配律，我们知道mabcmambmc，因此mambmcmabc（1）这表明(1)式左边三项的公因式m可以提取出来，作为整式mambmc的因式．mambmc的另一个因式abc仍由三项组成，每一项等于mambmc中对应的项除以公因式m：amam，bmbm，cmcm．1．1一次提净例1分解因式：232212615axabxyacx＋－．解232212615axabxyacx＋－由2312ax、26abxy、215acx－这三项组成，它们的数系数12、6、－15的最大公约数是3，各项都含有因式a和2x，所以23ax是上述三项的公因式，可以提取出来作为232212615axabxyacx＋－的因式，即有232212615axabxyacx＋－=23(425)axaxbycx＋－在例1中，如果只将因式3a或3ax提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增添了麻烦，不如一次提净为好．因此，应当先检查数系数，然后再一个个字母逐一检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以直接提取．还需注意原式如果由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成．在例1中，这三项分别为2312ax、26abxy、215acx－除以公因式23ax所得的商．初学的同学为了防止产生错误，可以采取两点措施：1．在提公因式前，先将原式的三项都写成公因式23ax与另一个式子的积，然后再提取公因式，即232212615axabxyacx＋－=22234323(5)axaxaxbyaxc＋＋－=23(425)axaxbyc＋－第6页共87页在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果．2．用乘法分配律进行验算．由乘法得出23(425)axaxbyc＋－=232212615axabxyacx＋－．1.2视“多”为一例2分解因式：223322()()6()()abxybcabxybc＋＋－＋＋．解原式由222()()abxybc＋＋、3326()()abxybc－＋＋这两项组成，它们的数系数的最大公约数是2，两项都含有因式2a和b，而且都含有因式x＋y与b＋c，因此22()()abxybc＋＋是它们的公因式．于是有223322()()6()()abxybcabxybc＋＋－＋＋=2222()()()2()()3()abxybcxyabxybcabbc＋＋＋－＋＋＋=222()()[()3()]abxybcxyabbc＋＋＋－＋=2322()()(33)abxybcxyababc＋＋＋－－．在本例中，我们把多项式x＋y、b＋c分别整个看成是一个字母，这种观点在因式分解时是很有用的．1.3切勿漏1例3分解因式：32(2)(2)(2)xyxyxy＋－＋＋＋解我们把多项式2x＋y看成是一个字母，因此原式由3(2)xy＋、2(2)xy－＋、2xy＋这三项组成，2xy＋是这三项的公因式，于是32(2)(2)(2)xyxyxy＋－＋＋＋=2(2)(2)(2)(2)(2)1xyxyxyxyxy＋＋－＋＋＋＋=2(2)[(2)(2)1]xyxyxy＋＋－＋＋请注意，中括号内的式子仍由三项组成，千万不要忽略最后一项1．在省去中间过程时，尤需加倍留心．第7页共87页1.4注意负号例4分解因式：433(23)(23)(23)abxyacxyaxy－＋＋＋－＋解433(23)(23)(23)abxyacxyaxy－＋＋＋－＋=32(23)(3)(23)(23)(23)(23)(1)axybxyaxycxyaxy＋－＋＋＋＋＋＋－=32(23)[(3)(23)(23)1]axybxycxy＋－＋＋＋－注意中括号内的最后一项是－1，千万别漏掉！本例中，原式的第一项有个因数－1，它也可以作为因数提取出来，即433(23)(23)(23)abxyacxyaxy－＋＋＋－＋=32(23)3(23)(23)()(23)(23)1axybxyaxycxyaxy－＋＋－＋－＋－＋=32(23)[3(23)(23)1]axybxycxy－＋＋－＋＋．（2）这样做也是正确的．但必须注意各项的符号，提出因数－1后各项都应改变符号，所以(2)式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反．1.5仔细观察例5分解因式：(23)(32)(23)(23)xyxyyxxy－－＋－＋解初看起来，原式所含的第一项(23)(32)xyxy－－与第二项(23)(23)yxxy－＋没有公因式，但进一步观察便会发现23(32)yxxy－＝－－因此yx2－3是两项的公因式．于是有(23)(32)(23)(23)xyxyyxxy－－＋－＋=(32)[(23)(23)]xyxyxy－－－＋=6(23)yxy－－提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简．第8页共87页1.6化“分”为整例6分解因式：322327364ababab－＋解这里的第三项274ab的系数是分数，为了避免分数运算，我们把14先提取出来，这时每项都除以14(也就是乘以4)，即322327364ababab－＋=32231(122427)4ababab－＋=223(489)4ababab－＋熟练以后可以将以上两步并作一步，“一次提净”．在提出一个分数因数(它的分母是各项系数的公分母)后，我们总可以使各项系数都化成整数(这个过程实质上就是通分)．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把－1作为公因数提出，使第一项系数成为正整数．小结提公因式是因式分解的基本方法之一．在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提．在与其他方法配合时，即使开始已经提出公因式，但是经过分组或应用公式后还有可能再出现公因式．凡有公因式应立即提净．提公因式时吗，应注意各项的符号，千万不要漏掉一项．第9页共87页习题1将以下各式分解因式：125105xyxyzxy－＋2()()()axabaxxa－＋－－－32(1)(1)(1)xxaxx－＋＋＋＋＋431213126nnbb－－＋(n是正整数)522(1)4(1)pqp－－－622222()()mnmnnmn＋－＋7(52)(23)(27)(23)abmpabmp－＋－－＋8232()6()4()xyxyxy＋＋＋－＋922()()()()xybcxybc＋＋－＋＋1032226(1)8(1)2(1)pxpxpx－－－－－第10页共87页2应用公式将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见的有七个公式(1)22()()ababab－＝＋－；(2)3322()()ababaabb＋＝＋－＋(3)3322()()ababaabb－＝－＋＋(4)2222()aabbab＋＋＝＋(5)2222()aabbab－＋＝－(6)3223333()aababbab＋＋＋＝＋(7)3223333()aababbab－＋－＝－以上公式必须熟记，牢牢找我各自的特点．2．1平方差七个公式中，公式(1)(即平方差公式)应用得最多．例1分解因式：229()4()mnmn－－＋．解原式由两项组成，这两项符号相反，并且29()mn－=2[3()]mn－，24()mn＋=2[2()]mn＋，因此可以应用公式(1)，得229()4()mnmn－－＋=2[3()]mn－－2[2()]mn＋=[3()2()][3()2()]mnmnmnmn＋＋＋－－＋[应用公式(1)]=(5)(5)mnmn－－[合并同类项]例2分解因式：6257512xyxy－．解6257512xyxy－=2443(254)xyxy－[首先提取公因式]第11页共87页=222223[(5)(2)]xyxy－[熟练后这步可以省去]=222223(52)(52)xyxyxy＋－[应用公式(1)]例3分解因式：222222(35)(53)abab－－＋－．解222222(35)(53)abab－－＋－=222222(53)(35)abab－－－=22222222[(53)(35)][(53)(35)]abababab－＋－－－－[应用公式(1)]=2222(88)(22)abab－＋[合并同类项]=222216()()abab－＋[提公因式]=2216()()()ababab＋－＋[应用公式(1)]例3表明在因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止．2.2立方和与立方差例4分解因式：523972xxy－．解523972xxy－=2339(8)xxy－[提公因式]=2339[(2)]xxy－=2229(2)(24)xxyxxyy－＋＋[应用公式(3)]例5分解因式：66ab＋．66ab＋=2323()()ab＋=22222222()[(