第一节、不定积分的定义和性质

三、基本积分表二、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质ConceptionsandpropertiesofIndefiniteIntegrals第四章一、原函数与不定积分的概念(Anti-derivativesandtheIndefiniteIntegral)定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)例xxcossinxsin是xcos的原函数.xln是x1在区间),0(内的原函数.)0(1lnxxx问题1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?定理1.存在原函数.简言之：连续函数一定有原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数问题2.原函数是否唯一？答案：不唯一？例xxcossinxCxcossin（Ｃ为任意常数）问题3.原函数之间有什么联系？关于原函数的两点说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则0)()(CxGxF（为某个常数）0C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxf0)()(CxGxF结论：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的任意一个原函数可表示为：}|)({CCxF,)(CxF其中C为任意常数。f(x)的全体原函数为：定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!记作简单地说：求不定积分就是求函数的全体原函数。例求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例求.1dxx解,),0()0,(时当Ix,1||lnxxCxdxx||ln1注意：Cxdxxln1×例1.设曲线通过点(1,2),),(xfy,22Cxxdx且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xy设曲线方程为根据题意知,2)(xxf即)(xf是x2的一个原函数.,)(2Cxxfxy02xy12xy12xy11·2不定积分的几何意义:的原函数的图形称为yxo0x的积分曲线.由于F(x)=f(x)，因此，积分曲线y=F(x)在点x处的切线斜率正是f(x)。不定积分y=F(x)+Ｃ在几何上代表一簇积分曲线，它们可通过曲线y=F(x)沿y轴方向上或下移动Ｃ个单位而得到。在同一点x对应的积分曲线簇上，切线平行若给定平面上一个点),(00yxM则能唯一确定一条通过该点的积分曲线。二、不定积分的性质(PropertiesoftheDefiniteIntegral)()dkfxx[()()]dfxgxx推论:若则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(kxdd)1(xxfd)()(xfdxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF（一）求不定积分与求导数或微分互为逆运算（二）不为0的常数因子，可以移到积分号前（三）三、基本积分表(BriefTableofIndefiniteIntegral）xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln)1(实例xx11.11Cxdxx注记由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式导出相应的积分公式.)1(21d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan21d)5(xxCxarcsinxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcotxxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cxshxxdsh)14(2chxxeex举例例2求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227CxCxdxx11判断积分结果是否正确，只要对结果求导，看导数是否等于被积函数，相等时，结果是正确的，否则是错误的。xxxCx2252772）验证：（说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系Cxdxx11.)1213(22dxxxdxxdxx22112113解:原式=xxd34134Cx313例5.求解:原式=xxdsin21Cxcos21134xC例4求积分例3.求解:原式=Cxdxxarctan112Cxdxxarcsin112xarctan3xarcsin2C例6.求解:原式=xexxd)25)2[()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2Cxaxd)13(Caaxln例7.求解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtan例8.求解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanlnCx先变形，再用基本积分表Cxxdxtansec2例9.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313例10求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.xdx2sec21Cxxdxtansec2例11已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质思考与练习1.证明2.若d)(ln2xxfx提示:xexlne)(lnxfx1Cx221是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln103.若;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为则的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx4.若提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x5.求下列积分:解：)1e(e2xx6.求不定积分22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA7.已知解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.8、符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(高数A