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1.补成三角形例1.如图1,已知E为梯形ABCD的腰CD的中点;证明:△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。初中几何证明题辅助线训练营分析:过一顶点和一腰中点作直线,交底的延长线于一点,构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。分析:因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CF=2CE,再证BD=CF即可。2.补成等腰三角形例2如图2.已知∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD,求证:BD=2CE3.补成直角三角形例3.如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,F、G分别是AD、BC的中点,若BC=18,AD=8,求FG的长。分析:从∠B、∠C互余,考虑将它们变为直角三角形的角,故延长BA、CD,要求FG,需求PF、PG。图34.补成等边三角形例4.图4,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,使AE=BD,连结CE、ED。证明:EC=ED分析:要证明EC=ED,通常要证∠ECD=∠EDC,但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F,使BF=BE,连结EF。5.补成平行四边形例5.如图5,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,并且E、F、G、H不在同一条直上,求证:EF和GH互相平分。分析:因为平行四边形的对角线互相平分,故要证结论,需考虑四边形GEHF是平行四边形。6.补成矩形例6.如图6,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长。分析:矩形具有许多特殊的性质,巧妙地构造矩形,可使问题转化为解直角三角形,于是一些四边形中较难的计算题不难获解。图67.补成菱形例7.如图7,凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,求其面积分析:延长EA,CB交于P,根据题意易证四边形PCDE为菱形。图78.补成正方形例8.如图8,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAC=45°,BD=3,DC=2。求△ABC的面积。图8分析:本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难,如果从题设∠BAC=45°,AD⊥BC出发,可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息,那么问题立即可以获解。9.补成梯形例9.如图9,已知:G是△ABC中BC边上的中线的中点,L是△ABC外的一条直线,自A、B、C、G向L作垂线,垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证:GG1=1/4(2AA1+BB1+CC1)。图9分析:本题从已知条件可知,中点多、垂线多特点,联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当,故过D作DD1⊥L于D1,则DD1既是梯形BB1C1C的中位线,又是梯形DD1A1A的一条底边,因而,可想到运用梯形中位线定理突破,使要证的结论明显地显示出来,从而使问题快速获证。1、在△ABC中,AC=BC,D是AC上一点,且AE垂直BD的延长线于E,又AE=BD,求证:BE平分∠ABC。课后作业:2、如图,已知:在△ABC内,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线,求证:BQ+AQ=AB+BP3、已知:∠BAC=90°,AB=AC,AD=DC,AE⊥BD,求证:∠ADB=∠CDE4、设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为S和,求:S-t的值。5.△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在同侧作等边三角形ABD,BCF,ACE探究下列问题(1)当△ABC满足______条件时,四边形DAEF是矩形.(2)当△ABC满足______条件时,四边形DAEF是菱形.(3)当△ABC满足______条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形,首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB,BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证:DA=FE所以:DAEF为平行四边形(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC90度)(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形,则必须:AB=AC(3)如果:角BAC=60度则:角DAE=3*60度=180度D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在据此,(2)的结论应稍加改变为:当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形6.已知:如图,三角形ABC中,∠BAC=90度,AD⊥BC于点D,BE平分角ABC交AD于点M,EF⊥BC于F.求证:四边形AEFM是菱形.解答:∵CE是角平分线,EA⊥CA,EF⊥CF,CE=CE,∴△CAE≌△CFE,∴EA=EF,∠AEC=∠FEC,又AD⊥CB,EF⊥CB,∴AD∥EF,∴∠AGE=∠GEF,∴∠AEG=∠AGE,∴AG=AE,∴AG=EF,∴四边形AGFE是平行四边形﹙有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形﹚又AG=AE,∴平行四边形AGFE是菱形﹙一组邻边相等的平行四边形是菱形﹚。即:四边形AEFG是菱形。7.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、AF,G为BE上一点且BO=BG。(1)若FG⊥OF,OF=1,求线段OG的长度;(2)若∠AFB=90°,求证:AF=BF+OG(1)、∵BF平分∠OBE∴∠OBF=∠GBF∵BO=BG,BF=BF∴△OBF≌△GBF∴OF=FG∵FG⊥OF∴△OFG是等腰直角三角形∴OG=√(OF²+FG²)=√2(2)、作OH垂直于OF交AF于H∵ABCD是正方形,BD、AC是对角线OA=OB,∠AOB=90°∵∠HOF=90°(做的OH⊥OF)∴∠AOH=∠BOF(同为∠HOB的余角)∵∠AFB=∠AOB=90°设AF与OB交于M,∠OMA=∠FMB(对顶角)∴∠OAH(∠OAM)=∠OBF(∠MBF)在△AHO和△BOF中OA=OB,∠AOH=∠BOF,∠OAH=∠OBF∴△AHO≌△BOF∴AH=BF,OH=OF∵OF=FG(第一步已经证明)∴OH=FG∵∠OFG=∠HOF=90°(这一步有点问题,∠OFG在第一步是假设的,)∴OG=FHAF=AH+HF=BF+OG8.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在BD上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值为多少?拓展:若P点在AC上运动,存在PE+PF的最小值,则这个最小值为多少?解:依题意得,当P为EF与BD的交点时,PE+PF最小,为EF的长.∵点E、F分别为AB、BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=0.5×AC=3.即PE+PF的最小值为3.拓展:用两张等宽的长方形纸条交叉重叠地放在一起,重合的部分为四边形abcd,若长为8,宽为2,求四边形abcd的最大9.将俩张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积是?10.如图,已知菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°,求∠CEF的度数证明:连接AC∵菱形ABCD中,∠B=60°∴AB=BC=CD=DA,∴AB=AC,∠FCA=∠B=60°,又∠EAF=60°,∴∠CAF=∠BAE=18°∴△BAE全等于△CFA,∴AE=AF∴∠FEA=60°,∴∠AEB=180°-18°-60°=102°∴∠CEF=180°-∠FEA-∠AEB=180°-60°-102°=18°11.如图,△ABC中,∠BAC=90°,BG平分∠ABC,GF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D,交BG于点E,连结EF。(1)、求证:①、AE=AG;②四边形AEFG为菱形。(2)、若AD=8,BD=6,求AE的长。证明:(1)AE=AG的关键是证明∠AGE=∠AEG;∵∠AEG=∠BED,又∠ADB=90°;∴∠AEG+∠GBD=90°;又因为∠AGE+∠ABG=90°且BG为角ABD的角平分线,因此可以推断∠AEG=∠AGE,所以得出△AEG为等腰三角形,所以AE=AG。(2)∵线段GF平行于线段AD,所以∠AEG=∠FGE;∴∠AGB=∠FGB,有前面的条件可知∠ABG=角FBG,又BG=BG,所以三角形ABG全等于三角形GFB,所以AG=AF,从而推出AE=GF,根据菱形的定义:四边形AEFG为平行四边形,又邻边相等,所以四边形为菱形。(3)∵AD=8,BD=6,∴AB=BF=8,∵DE//GF,∴BD/BF=DE/FG.设AE=x,则ED=8-x,GF=X,即:6/10=(8-x)/x.解得x=8/3.ABCDEFG(1)解:连接BD,∵点E为CD边的中点,BE⊥CD∴BD=BC∴∠DBE=∠CBE∵∠FBE=2∠EBC∴∠DBE=∠CBE=∠DBF∵BF=BG∴△FBD≌△GBC13.如图,在矩形ABCD中。已知AD=12,AB=5,P是AD上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E和F分别是垂足,求PE+PF的值.ABDCPFE提示:用三角形的等面积法.SΔABO=SΔAPO+SΔDPOO2114.已知:如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AD//BC,∠CBE=∠ABE.求证:ED=2AB取ED的中点F并与A连接因为,∠C=90°,AD//BC,所以∠EAB=90°,AF为直角△EAB斜边ED上的中线,AF=DF=1/2ED三角形AED为等腰三角形,∠D=∠FAD∠D+∠FAD=2∠D=∠AFB又因为∠CBE=∠D(内错角),所以∠CBE=1/2∠AFB而已知∠CBE=1/2∠ABE,所以∠AFB=∠ABE,三角形子BAF为等腰三角形,AB=AF=1/21/2ED所以,ED=2ABADBCEF15.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE=CA,F是AE的中点.求证:BF⊥FD过F点做AD的平行线交AB于G点,则有FG垂直于AB,三角形AFG全等于三角形BFG(全等条件:F中点所以G也是重点AG=FG都有一直角和公共边FG边角边)所以有AF=BF角FAB=角FBA又得角FAD=角FBC(都加一直角),又AD=BC所以三角形FAD全等于三角形FBC(边角边)所以有角BFC=角AFD角AFD+角DFC=90换量角BFC+角DFC=90,所以BF⊥FD圆的经典例题模型解:连接OA,设正方形ABCD的边长为X∵正方形ABCD的边长为X∴AB=BC=CD=X∵∠POM=45∴OC=CD=X∴OB=BC+CD=2X∵MN=10∴OA=MN/2=5∵AB²+OB²=OA²∴X²+4X²=25X²=5X=√5∴AB=√51、如图,已知在圆O中,直径MN=10,正方形ABCD的4个顶点分别在半径OM,OP,及圆O上,且∠POM=45°,问:AB?M2、如图,已知A,B,C,为圆O上三点,D,E分别为弧AB,弧AC的中点,连DE,分别交AB,AC于点F,G求证:AF=AG证明:连接OD、OE,分别与AB、AC交于点M、N,由垂径定理,OD⊥AB,OE⊥AC因为OD=OE,所以∠ODE=∠OED在RtΔMDF与RtΔNEG中∠MFD=90°-∠ODE∠NGE=90°-∠OED所以∠MFD=∠NGE,即∠AFG=∠AGF所以AF=AG,MN3、如图,圆O的直径AB的长AC为10,弦AC的长为6,∠ACB的平分线交圆O与点D,则CD的长为?解答:过A点作AE垂直BC与点E,∠ACB=90,∠ACD=∠BCD=45AC=6,∠AEC=90所以AE=CE=3√2又因为弧AD=弧DB,且角ADB=90,所以
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