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当前位置:首页 > 临时分类 > 2010-固体理论第一章周期性结构
第一章周期性结构(PeriodicStructure)§1.1正格矢与倒格矢原子(离子、原子团或分子)排列的周期性是晶体的主要特征之一第一章周期性结构正点阵中任一格点的位置由正格矢确定:a1、a2、a3为正点阵的基矢;l1、l2、l3可以取所有整数31332211iiilllllaaaaR第一章周期性结构一般尽可能取最短的矢量为基矢。由不共面的三个基矢a1、a2、a3所围成的原胞的体积V为:)(321aaaΩ第一章周期性结构原胞的选取原则(BravaisRule):1、应充分反映点阵的对称性;2、格子直角应尽可能多;3、所包括的阵点数应尽可能少;4、基矢应尽可能短第一章周期性结构维格纳-赛茨原胞(Wigenr-SeitzCell)一个格点与其最近邻(有时也包括次近邻)格点的连线的中垂面所围成的多面体。只含一个格点,但包括了全部对称性第一章周期性结构例1:二维平方格子的W-S原胞解:第一章晶体结构图2体心立方的布喇菲原胞示意图例2:BCC结构的W-S原胞解:最近邻8个格点;距离次近邻6个格点;距离aa23最近邻次近邻第一章周期性结构体心立方的基矢为:)(2)(2)(2321kjiakjiakjiaaaa第一章周期性结构有8个最近邻格点:(-1,-1,-1)2(-1,1,-1);2(1,-1,-1)2(-1,-1,1);2(1,1,-1);2(1,-1,1)2(-1,1,1);2(1,1,1);2aaaaaaaa第一章周期性结构有6个次近邻格点:(0,0,-1)(0,-1,0);(-1,0,0);(0,0,1)(0,1,0);(1,0,0);aaaaaa第一章周期性结构8个最近邻格点的中垂面围成一个正八面体,原点到每个面的垂直距离为:正八面体的体积为:223a3229)(a第一章晶体结构图2BCC的W-S原胞示意图例:BCC的W-S原胞第一章周期性结构但体积比一个格点的体积a3/2大。计及次近邻格点后,截去正八面体的六个顶角,体积正好等于一个格点的体积。具体计算留给同学们计算。W-S原胞是对称性原胞,具有所属点群的全部对称性为理论计算带来好处第一章周期性结构第一章周期性结构为了描述晶体中的电子、声子、自旋波量子的状态等,它们均是用波矢量来进行表征,波矢量空间引入倒点阵(ReciprocalLattice):倒点阵的基矢b1、b2、b3与正点阵基矢a1、a2、a3满足关系:1,2,3)j(i,j)(i0j)(i22ijjiba第一章周期性结构可以证明:ΩΩΩ213132321222aabaabaab)(321aaaΩ第一章周期性结构在倒点阵中的任一格点可以用倒格矢表示:31332211iiinnnnnbbbbK第一章周期性结构一般尽可能取最短的矢量为基矢。由不共面的三个基矢b1、b2、b3所围成的原胞的体积为:)(321bbb*Ω第一章周期性结构一般取倒点阵中的W-S原胞为倒点阵的原胞当倒点阵的W-S原胞的中心正好为倒空间的原点时,倒点阵中的W-S原胞所包含的区域为第一布里渊区(BrillouinZone)其余的布里渊区可以经过移动,折合到第一布里渊区。二维布里渊区——正方格子的布里渊区正方格子的基矢倒格子原胞基矢第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点垂直平分线方程——第一布里渊区大小第二布里渊区由4个倒格点——第二布里渊区大小的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成由4个倒格点第三布里渊区第三布里渊区大小的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第一、第二和第三布里渊区正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形状——每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合二维六方晶格布里渊区的形状——每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合体心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本图中用实心圆点标出了倒格点。在倒空间中画出它的第一布里渊区。如果正格子体心立方体的边长是a,则倒格子为边长等于4π/a的面心立方。主要的对称点:Γ:;H:;P:;N:),,(0002a),,(0012a),,(2121212a),,(021212a第一章晶体结构可以看出:(1)布里渊区的形状与晶体结构有关;(2)布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成。第一布里渊区就是倒格子原胞,其体积是一个倒格点所占的体积,与倒格子原胞的体积相等。第一章晶体结构倒易点阵的物理意义:(1)倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组晶面相对应的;(2)倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向;(3)倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面间距的倒数的2π倍。单位为长度的倒数第一章周期性结构倒格子的性质(1).若h1、h2、h3为互质整数,则Gh=h1b1+h2b2+h3b3为该方向的最短倒格矢。(2).正、倒格子互为倒格子。(3).Gh=h1b1+h2b2+h3b3垂直于晶面族(h1、h2、h3)。(4)某方向最短倒格矢Gh=h1b1+h2b2+h3b3之模和晶面族(h1、h2、h3)的面间距dh成反比。(5)倒格矢Gh和正格矢Rn的标积是2π的整数倍Gh·Rn=2πmhhGd2(6)正、倒格子初基元胞体积间满足Ω·Ω※=(2π)3(7)晶体的傅立叶变换设函数V(x)具有正晶格周期性,它可以作付里叶级数展开:n是整数nxiGnneGV)(=nnxaienVxV2)()(=dxexVaGVxiGann0)(1)(=V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表述”,它们之间满足傅立叶变换的关系。∴一个具有正格子周期性的物理量,在正格子中的表述与在倒格子中的表述之间满足傅立叶变换的关系。同一晶体的正、倒点阵具有相同的点群对称性BZ具有晶体点阵点群的全部对称性。第一章周期性结构§1.2平移对称性格点在三维空间无限周期性排列组成点阵空间点阵沿任意正格矢平移后具有不变性。由波恩-卡门循环边界条件有:01ENENEiiiiaa第一章周期性结构这里,是平移算符:对函数的作用为:lREllllRrrRERrrRE1;)()()()()()(llllllRrfrREfrfRERrfrREfrfRE11第一章周期性结构对于原胞数为N=N1N2N3的晶体,共有N个平移算符,它们的集合满足:1)任意两次相继的平移仍为一平移,即2)满足乘法的结合律3)代表反方向的平移之中仍在乘以lRERERE21,都有对应的每一个-1llRERE第一章周期性结构4)存在着恒等操作所组成的群为平移群。平移群的最大特点为:相继两次平移的效果与其作用的先后次序无关平移算符之间可以对易。0ElRE第一章周期性结构§1.3布洛赫定理当N(=N1N2N3)个原胞组成的晶体满足波恩-卡门条件时,具有平移对称性。正格矢Rl可以取N个不同的值,有N个组成N阶平移群lRE第一章周期性结构mlmlRERERERE1这个N阶群的每个元素本身自成一个共轭类群中的共轭类数与不可约表示数相同。故平移群有N个不可约表示。第一章周期性结构不可约表示的维数nα为:NnN12表明平移群的N个不可约表示都是一维的第一章周期性结构设ψ(r)为此一维表示的基函数:)()()()()(raDarrarajjjjEEE)()()(rraraaψDψ2EψEE21j1j1j1,2,3)()()(jψDψNEN1jjrra第一章周期性结构这里D是表示的一维矩阵,实际是一个数。由波恩-卡门循环边界条件:01ENENEiiiiaa)()()(0)(rrrraψDψψEψNEN1jj第一章周期性结构由此可知,有:.....NnDDjjNj3210nj)iexp(21,,,=其中:)()]iexp[(2)()()(313322111raaarRrrRjjjjllNnllllE第一章周期性结构在倒空间定义波矢量k:故对任意正格矢的平移,有:31jjjjNnbk))...(1.3.8()exp(i)()]iexp[(2)()()(313322111rRkraaarRrrRljjjjllNnllllE第一章周期性结构由D定义的波矢k可以作为平移群的不可约表示的标记。第k个不可约表示的一维矩阵是exp(ik·R1)因此,式(1.3.8)可以理解为:))...(1.3.9()exp(i)()(1rRkRrrRkkklllE(1.3.9)为布洛赫定理第一章周期性结构(1.3.9)可以改写为:(1.3.9a)...)()exp(-i)()](exp[-irrkRrRrkkkll)]()[exp(-i)(rrkrukk如令:)()(lruRrukk+则有:第一章周期性结构这说明uk(r)是正点阵的周期函数,布洛赫函数为:具有调幅波的特性晶体周期势场中的电子波函数、格波、自旋波等均具有布洛赫函数的形式。)()exp(i)(rurkrkk第一章周期性结构由于布洛赫定理是从晶体的平移对称性推导出来的,凡属周期性结构中的波均具有布洛赫函数的形式。第一章周期性结构以k表示平移群的不可约表示,还存在是否唯一的问题。nKkk'对应的布洛赫函数为ψk和ψk’))exp(exp()])exp[()exp(lnllnliiiiRKRkRKkRk'第一章周期性结构)exp()2)exp(exp())exp(exp(811)(2231lllnliiilnimiiiimmlnRkRkRKRk..RK)(整数这表明,除k出外,还有一组与k等效的k+Kn对应于同一个不可约表示。需要限制k的取值范围以保证在这个区域内,任意两个波矢之差均小于一个最短的倒格矢。第一章周期性结构这个区域就称为第一布里渊区(1stBrillouinZone;BZ)在BZ中的波矢称为简约波矢;BZ中共有N个不同的波矢k,可以唯一地标记平移群的N个不可约表示。第k个不可约表示可以标记为:}{l)(RkΕD第一章周期性结构因此,相应的特征标为:)exp(i}{}{}{ll)(l)(rl)(RkRRRΕDΕDTΕkkk通常简约区是取相对于k=0的对称多面体(倒空间的W-S原胞)第一章周期性结构有时,也对k进行限制:jjjjiNnibk,,ak31)321(==注意:因此,由此限制的波矢k也只有N个。第一章周期性结构几个重要的关系式:1)平移群不可约表示的正交关系:群论中两个不可约表示i与j的矩阵元满足正交关系:lNRkk'Rkk])'-exp[-i(lR*RR)()()()(iijjingDDg为群的阶数,ni为第i个不可约表示的维数,求和遍及所有群元R第一章周期性结构对于平移群,有:表明平移群的矩阵是一维的。k'k;;;jinNgi1llNEDEDEDRkk'Rk'kkRk'kRRRkR])exp[-i()()()exp(i)(ll)(l)*(ll)(第一章周期性结构2)平移群特征标的正交关系sllNslRRRRRk])(exp[-islNΕΕΕΕslslssllRRkkkkkkRRkRRRkRRkRBZ)()*()()()]-(exp[-i}{}{)exp(i}{);exp(i}{第一章周期性结构3)求和与积分的关系由于沿着bi方向相邻k值的间距为:则每一个唯一的k值所占据的体积为:1,2,3)(iiiiNbkVNΩNNNΩNNN33321321321321)(2)(2)()(*bbbkkk第一章周期性结构
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