小波理论及其在图像处理中的应用

1博士学位研究生小波理论及其在图像处理中的应用博士研究生：丁红军学号：1215202002所在学院：精仪学院所学专业：生物医学工程研究方向：神经工程二○一五年十二月2小波理论及其在图像处理中的应用——浅谈图像的小波分解与重构1.1小波函数小波是在—个局部区域内波动的函数，小区域的波，是一特殊的长度有限、平均值为0的波形。小波分析的核心思想是按照尺度分析来分析信号：将小波收缩和平移，然后研究信号和小波之间的相关性。信号伸展后(大尺度)与小波的相关性体现的是信号的粗略特征，信号收缩后(小尺度)与小波的相关性体现的是信号的细节特征，因此小波有“数学显微镜的美誉。设x为—个实变量，若函数是波动函数，即0d，且是紧支撑的(即只在—个局部区域内有定义，在这个区域外趋于零)，为一平方可积函数，即)(2RL，若其傅立叶变换w满足容许性条件：d|||)(|（1-1）则函数称为母小波或基小波。1.2连续小波变换根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可容许性条件可知0|)(0ww，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的“波动性”。将基小波进行收缩和平移得小波基函数：)(1)(,abtatba（1-2）其中，a≠0，称作尺度因子，b称作平移因子，函数tf在)(2RL上的连续小波变为：dtabttfabaWf_______________2/1)()(||),(（1-3）若a1，tba,具有伸展作用，a1函数则具有收缩作用。式中不但t是连续变量，而且a和b也是连续变量，因此成为连续小波变换。3写成内积的形式为：dtabttfafba___________2/1,)()(||,（1-4）逆变换为：dadbabtbaWaCtff)(),(11)(2（1-5）其不难发现，小波变换实际是将函数tf同一个活动的带通滤波器进行滤波，区别于窗口傅立叶变换的是，时间局部区域和频率局部区域不再是固定不变的，而是随着参数a和b的变化而变化。根据a和b的不同，可得小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号tf的局部化分析。小波变换的基本性质有:(1)线性。设baWf,1为tf1的小波变换，则有tftftf21baWbaWbaWfff,,,21（1-6）(2)平移和伸缩的共变性。若baWtff,，则baaaWataff0000,1,（1-7）(3)微分运算。dttttfttfWbannnnnba__________,1.（1-8）除了上述性质，还有能量守恒性，空间-尺度局部化等特性。1.3离散小波变换在实际应用中，为满足实际计算的需要，常常要使用离散形式的小波变换，也就是将函数f的积分形式展开为级数和的形式。离散小波是通过把小波函数ba,中的参数a和b离散化得到的，其离散化形式为：1,,,,0000aZkjakbbaajj（1-9）对应的离散小波函数002/00002/0,)(kbtaaabkatatjjjjjkj（1-10）离散化小波变换系数可以表示为：0,)()(,*,,kjkjkjdtttfC（1-11）4公式为:)()(,,tCCtfkjkj(1-12)其重构其中，C是一个与信号无关的常数。为了使小波变换具有可变的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳特性，需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能，这就需要把频率划分为邻接的频带(或倍频程)。最常用的是二进制的动态采样网络，即1,200ba,每个网格点对应的尺度为j2，而平移为kj2,这样得到的小波：)2(2)(2/,kttjjkjZkj,(1-13)我们将其称为二进制小波，它对信号分析具有变焦距功能。假定放大倍数为j2，它对应观测信号的某部分内容，若想进一步观察信号更小的细节，则需增加放大倍数即减小j值；反之，若想了解信号更粗的内容，就需要减小放大倍数即增大j值。在这个意义上，小波变换被称为“数学显微镜”。1.4多分辨率分析多分辨分析又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它是S.Mallat在1988年提出的，可用于正交小波分解和重构，也称金字塔算法。多分辨分析的基本思想是将原始信号分为不同分辨率的几组信号，然后选择合适的分辨率或者在各级分辨率上处理此信号。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗糙到精细观察目标，这就是多分辨分析的基本思想。多分辨分析的定义如下：空间)(2RL中的多分辨率分析是指)(2RL中具有如下性质的一个空间序列{kV}(其中k∈Z)：(1)单调性：对于任意k∈Z，{kV}是一个嵌套序列，即1kkVV。(2)逼近性：所有的kV在)(2RL中是稠密的，也就是说所有kV的交集是零函数，即)(,02RLVcloseVkkZk(1-14)(3)伸缩性：体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间变化的一致性，即1)2()(kkVtfVtf。(4)平移不变性：对于任意k∈Z，有12/2/)2(2kkkkkkVjVt5(5)Riesz基存在性：0)(Vt，使)|2(2/Zjjtkk构成kV的Riesz基。实际上，在上面的多分辨率分析逼近中，存在着一个函数RLt2)(，使得：Z222/,kkxjjkj（1-15）在jV内形成一个标准正交基，其中被称为尺度函数。由于尺度函数基kj,组成的空间jV中满足jV1jV，在将1jV中的信号投影到jV中时必定会产生一个细节差异，我们可以将这个差异在另一个与jV正交的空间jW中描述，即有：,1jjjWVV，jW⊥jV，Zj（1-16）我们称这个空间jW为小波空间。根据尺度空间和小波空间的关系和性质，我们来讨论这些空间的基函数。如果Zkk是构成0V空间的正交基，那么存在一个函数ψ(x)，其所形成的Zkk就构成1V子空间0V的正交补空间0W。通过伸缩和平移变换Zkjkjkx2,也就成为jV的正交补空间jW的基函数。这里函数ψ(x)被称为母函数或小波函数。它在信号分析中表示信号的细节信息。1.5尺度函数t由尺度函数t构造小波是小波变换的必经之路。尺度函数t应满足下列条件：（1）1dtt，它是一个平均函数，与小波函数t相比较，其傅里叶变换w具有低通特性，w具有带通特性。（2）t=1，尺度函数是范数为1的规范化函数。（3）0'',,dtttnmnm，即尺度函数对所有的小波是正交的。（4）0'',,dtttnmnm，即尺度函数对于评议时正交的，但对于伸缩j来说不是正交的。6（5）Znnntht22，即某一尺度上的尺度函数可由下一尺度的线性组合得到，nh是尺度系数。（6）尺度函数与小波是有关联的。t可表示如下：ntgtZnn22（1-17）式中，2是归一化因子，ng是由nh导出的系数，相应的傅里叶系数为22222wwGwegwjwnZnn（1-18）式中，222jwnZnnegwG(1-19）这说明小波可由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得，这就是构造小波正交基的途径。1.6Mallat算法著名的Mallat分解、重建算法在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶变换在经典傅里叶变换中的作用。信号(函数))()(2RLxf在尺度空间jV中的逼近)(xfj可以表示为下个尺度空间1jV中的粗信息和小波空间1jW中的细节信息，即：)()()(,11,11,xdxcxcxfkjZkjkkjZkjkkjZkjkj（1-20）由式(3-18)和尺度函数、小波函数ψ的正交性，可以计算出：nknjnkjnjnjnjkhccc*2,1,1,(1-21)*2,1,1,knnjnkjnjnjnjkgccd(1-22)kjnjnjnnkjnjjnjkdcc,,11,,11,,nknjnnknjngdhc2121（1-23)其中，Zkkh是由正交尺度函数的两尺度方程对应的滤波器系数序列，可以看成低通滤波器；Zkkg可以看成高通滤波器。令Zkjkjcc、Zkjkjcc11、Zkjkjdd11，则1jc和1jd可分别看成jc的低频信号和细节信号。式(1-19)和7式（1-20）为小波分解算法，对低频信号递归应用小波分解算法，则可得到jc的低频1Md......1jd为jc的小波变换。式（1-21）为小波重构算法。小波分解与小波重构算法合起来就是一维情形下著名的离散小波变换的Mallat算法。它的卷积表达形式为：*1*1*)*(gcDdhcDcjjjj（1-24）gUdhUccjjj**11（1-25）*h表示滤波器h的共轭反转，**hcj表示jc与*h的卷积；**hcDj表示卷积**hcj的二元下抽样，重构的情况类似，U表示二元上抽样。1jd2jdMdjc1jc2jc...1McMc（a）Md1Md1jdMc1Mc..…1jcjc（b）图1.1一维小波分解与小波重构的迭代过程（a）小波分解（b）小波重构图1.2小波分解与重构的二通道滤波器组表示在Mallat算法中，**,gh用做分析滤波器；(h,g)用做综合滤波器。Mallat算法不仅给出了小波变换的快速算法，而且揭示了小波多分辨率分析与滤波器组之间的内在联系，具有重要的理论意义和应用价值。8经过二维小波变换，可以将原图像逐级分离，分离成具有不同尺度的子图像，一幅图像经过三级二维小波变换的塔式结构如图1.3所示。图1.3三级二维小波变换塔式结构原图经小波变换后生成四个分量部分：低频分量LL，保留了原图的大部分信息；高频分量LH、HL、HH，均包含了边缘、区域轮廓等细节信息。(1)HH子带是由两个方向利用高通小波滤波器卷积后产生的小波系数，它表示图像的对角边缘特性。(2)LH子带是在行方向利用低通小波滤波器卷积后，再用高通小波滤波器在列方向卷积后产生的小波系数，它表示图像的垂直方向奇异特性。(3)HL子带是在行方向利用高通小波滤波器卷积后，再用低通小波滤波器在列方向卷积后产生的小波系数，它表示图像的水平方向奇异特性。(4)LL子带是由两个方向利用低通小波滤波器卷积后产生的小波系数，它是图像的近似表示。图1.4小波图像分解过程二维离散图像{c（m，n）}，而小波变换可将它分解为各层各个分辨率上的近似分量。cAj，水平方向细节分量cHj，垂直方向细节分量cVj，对角线方向细节分量cDj。小波图像分解过程如上图，其2层小波重构过程正好相反，基于小波变换的图像处理，是通过对图像分解过程中所产生的近似分量与细节分量系数的调整，使重构图像满足特定条件，实现图像处理。C（m,n）cA2cH2cH1cV2cD2cV1cD1cA1cH1cV1cD1LL3LH3LH2HL3HH3LH1HL2HH2HL1HH19图1.5图像的小波分解及重构附录：clearall10A=imread('1.jpg')