平面向量共线的坐标表示资料

第九课时平面向量共线的坐标表示xyijxiyjaO1.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）12121212()()(,)abxxyyabxxyyaxy，，11222121(,),(,),(,).AxyBxyABxxyy若则11()axy，2.向量的坐标运算：22()bxy，3.平面向量共线定理：babba0//注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标ba问题:如果向量，共线（其中≠），那么，满足什么关系？babba0思考:设=(x1，y1),=(x2，y2)，若向量，共线（其中≠），则这两个向量的坐标应满足什么关系？baabb0结论:设=(x1，y1),=(x2，y2),（其中）,当且仅当ba0b1221xy-xy=0a向量与向量共线。b1221//(0)0abbxyxy：即探究：1.?消去时能不能两式相除12122.?yyxx能不能写成1222,00,,0yybxy不能两式相除，有可能为，又中至少有一个不为12,,0.xx不能有可能为例1.已知a//b,且a=(4,2),b=(6,y),求y的值;练习：已知a//b,且a=(x,2),b=(2,1),求x的值.解：∵a//b解：∵a//b∴4y-26=0×∴y=3∴x-22=0∴x=41.(2,1),(,1),2,2,//,.abxababx已知向量且求的值mumu==-=+=-2x=-2.(3,4),(cos,sin),//,tan.abab已知向量且求的值aaa==4tan3a=3.(12,5)121255131313125125125131313131313aABCD与平行的单位向量是（）（）（，）（）（，）（）（，）或（，）（）（，）C4.若三点P(1,1)，A(2,－4)，B(x,－9)共线，则（）A．x=－1B．x=3C．x=D．x=5192B5.设a=(,sinα)，b=(cosα,)，且a//b，则锐角α为()A．30oB．60oC．45oD．75o2331C例2.已知A(-1，-1)，Ｂ(1，3)，C(2，5)，试判断A,B,C三点之间的位置关系.∵AB=（1-（-1），3-（-1））=（2，4）AC=（2-（-1），5-（-1））=（3，6）又∴AB∥AC∵直线AB、直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线。××26-34=0，xy0●B●C●A解法1:解法2:1nmOCnOBmOA利用已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，ABCD向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0∴ABCD∥又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)AB=(2，4)，∴2×4-2×60ACAB∴与不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k为何值时,向量ka－b与a+3b平行?并确定它们是同向还是反向.解：ka－b=(k－2,－1),a+3b=(7,3),∵ka－b与a+3b平行这两个向量是反向。例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(1)M1212121()2(,)22OPOPOPxxyy解：（1）所以，点P的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxy1点P靠近点有：121111212112121212121若p则PP=PP,21OP=0P+PP=0P+PP31=0P+(0P-0P)321=0P+OP332x+x2y+y=(,)332x+x2y+y∴点P的坐标是(,)33解：（2）①解法二:xyOP1P2P121121111112212121212121111212设点P的坐标为（x,y）11若PP=PP,则PP=PP23PP=(x,y)-(x,y)=(x-x,y-y)11PP=(x-x,y-y)33x-xy-y=(,)33x-xy-y即(x-x,y-y)=(,)332x+x2y+y解得x=,y=33∴点P的12122x+x2y+y坐标是(,)33则有：121212pp=2pp,x+2xy+2y∴点P的坐标是(,)33xyOP1P2P②若点p靠近P2点时直线l上两点p1、p2，在l上取不同于p1、p2的任一点P，则P点与p1p2的位置有哪几种情形？P在之间21PP1P2PPP在的延长线上，21PP1P2PPP在的延长线上.12PP1P2PP能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定λ的取值范围吗？0101存在一个实数λ，使，λ叫做点P分有向线段所成的比．21PPPP21PP设，，P分所成的比为，如何求P点的坐标呢？),(111yxP),(222yxP21PP),(111yyxxPP　　),(),(2211yyxxyyxx　　),(222yyxxPP21PPPP)()(2121yyyyxxxx　　112121yyyxxx探究:112121yyyxxx有向线段的定比分点坐标公式21PP有向线段的中点坐标公式21PP222121yyyxxx例4．已知两点，，求点分所成的比及y的值．)2,3(1P)3,8(2P),21(yP21PP解：由线段的定比分点坐标公式，得1321)8(321y2252175y解得练习：如图，的三个顶点的坐标分别为，，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且，求点G的坐标．),(11yxA),,(22yxB),(33yxC2GDCGABCOxyCBADG解：∵D是AB的中点∴点D的坐标为)2,2(2121yyxx2GDCG　GDCG2　由定比分点坐标公式可得G点坐标为：OxyCBADG解：∵D是AB的中点∴点D的坐标为)2,2(2121yyxx2GDCG　GDCG2　由定比分点坐标公式可得G点坐标为：3212232122321213321213yyyyyyyxxxxxxx即点G的坐标为)3,3(321321yyyxxx1.△ABC的三条边的中点分别为(2,1)和(－3,4),(－1,－1)，则△ABC的重心坐标为_______24(,)332.已知向量a=(2x,7),b=(6,x+4)，当x=_______时，a//b．3或－7练一练1.熟悉平面向量平行(共线)等价条件的两种形式:(1)a//b(b≠0)⇔a=λb;小结:11221221(2)a//b(a=(x,y),b=(x,y),b≠0)⇔xy-xy=02.会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。作业P101练习6、7