2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第2讲两直线的位置

基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.第2讲两直线的位置关系基础诊断考点突破课堂总结1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔______.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2_____．(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔___________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线______．知识梳理k1＝k2平行k1·k2＝－1垂直基础诊断考点突破课堂总结相交⇔方程组有_________，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组______；重合⇔方程组有___________．2．两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．唯一解无解无数个解基础诊断考点突破课堂总结3．距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝__________________.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝_______.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_________________.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝________.x2－x12＋y2－y12x2＋y2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2基础诊断考点突破课堂总结(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示××√√基础诊断考点突破课堂总结2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析设所求直线方程为x－2y＋c＝0，将(1,0)代入得c＝－1.∴所求直线方程为x－2y－1＝0.答案A基础诊断考点突破课堂总结3．(2014·福建卷)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0解析已知圆的圆心为(0,3)，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，则所求直线的斜率为1，所以所求直线的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0.故选D.答案D基础诊断考点突破课堂总结4．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．解析先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋12＝0，则两平行线间的距离为d＝|2－12|2＝324.答案324基础诊断考点突破课堂总结5．(人教A必修2P114A4改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.解析由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.答案0或1基础诊断考点突破课堂总结考点一两直线的平行与垂直【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值．基础诊断考点突破课堂总结解(1)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－a＋1，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2.深度思考建议同学们用两种方法来求解：一是求直线的斜率，利用斜率的关系求解；二是利用直线方程的系数间的关系求解．基础诊断考点突破课堂总结法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔aa－1－1×2＝0，aa2－1－1×6≠0，⇔a2－a－2＝0，aa2－1≠6⇒a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由－a2·11－a＝－1⇒a＝23.法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝23.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．基础诊断考点突破课堂总结【训练1】已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8解析∵l1∥l2，∴kAB＝4－mm＋2＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴－1n×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.答案A基础诊断考点突破课堂总结考点二两条直线的交点与点到直线的距离【例2】直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．解当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在．∵直线l过点P(2，－5)，∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0.基础诊断考点突破课堂总结∴点A(3，－2)到直线l的距离d1＝|3k－－2－2k－5|k2＋1＝|k－3|k2＋1，点B(－1,6)到直线l的距离d2＝|－k－6－2k－5|k2＋1＝|3k＋11|k2＋1.∵d1∶d2＝1∶2，∴|k－3||3k＋11|＝12，∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.基础诊断考点突破课堂总结规律方法利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．解析(1)法一由方程组y＝kx＋2k＋1，y＝－12x＋2，解得x＝2－4k2k＋1，y＝6k＋12k＋1.基础诊断考点突破课堂总结(若2k＋1＝0，即k＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为2－4k2k＋1，6k＋12k＋1.又∵交点位于第一象限，∴2－4k2k＋1＞0，6k＋12k＋1＞0，解得－16＜k＜12.基础诊断考点突破课堂总结法二如图，已知直线y＝－12x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)．而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线．基础诊断考点突破课堂总结∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.∵kPA＝－16，kPB＝12.∴－16＜k＜12.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13.∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．基础诊断考点突破课堂总结法二当AB∥l时，有k＝kAB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.答案(1)－16，12(2)x＋3y－5＝0或x＝－1基础诊断考点突破课堂总结考点三对称问题【例3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，再由已知y＋2x＋1·23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413，∴A′－3313，413.基础诊断考点突破课堂总结(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，解得M′613，3013.设m与l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.基础诊断考点突破课堂总结(3)法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)．则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)点关于点的对称：求点P关于点M(a，b)的对称点Q的问题，主要依据M是线段PQ的中点，即xP＋xQ＝2a，yP＋yQ＝2b.(2)直线关于点的对称：求直线l关于点M(m，n)的对称直线l′的问题，主要依据l′上的任一点T(x，y)关于M(m，n)的对称点T′(2m－x,2n－y)必在l上．基础诊断考点突破课堂总结(3)点关于直线的对称：求已知点A(m，n)关于已知直线l：y＝kx＋b的对称点A′(x0，y0)的坐标，一般方法是依据l是线段AA′的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程．(4)直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．基础诊断考点突破课堂总结【训练3】光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射