2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标,文科)配套课件 6.3 等比数列及其前n项和

数学A（文）第六章数列§6.3等比数列及其前n项和基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分基础知识·自主学习知识梳理1.等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示.从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比q基础知识·自主学习知识梳理2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.3.等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项.a1·qn－1G2＝a·b(ab≠0)基础知识·自主学习知识梳理4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.qn－mak·al＝am·an(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列.基础知识·自主学习知识梳理5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；6.等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.qn基础知识·自主学习知识梳理思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.()×××基础知识·自主学习知识梳理(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.()(5)等比数列{an}的首项为a，公比为－1，前n项和为Sn，则S2n＝0，S2n－1＝a.()(6)1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝1－b51－b.()××√基础知识·自主学习考点自测题号答案解析1234AD422n＋1－2设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝a11－qn1－q＝2n＋1－2.题型分类·深度剖析例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()题型一等比数列基本量的运算A.152B.314C.334D.172解析答案思维升华题型分类·深度剖析解析答案思维升华例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172题型一等比数列基本量的运算a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12显然公比q≠1，由题意得题型分类·深度剖析解析答案思维升华例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172题型一等比数列基本量的运算或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.题型分类·深度剖析解析答案思维升华或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172题型一等比数列基本量的运算B题型分类·深度剖析等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.解析答案思维升华例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172题型一等比数列基本量的运算B题型分类·深度剖析解析答案思维升华例1(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析解析答案思维升华设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6，a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.例1(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析解析答案思维升华所以a1＝1，q＝2或a1＝－16，q＝12.故a3＝4或a3＝－4.例1(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析解析答案思维升华4或－4例1(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.所以a1＝1，q＝2或a1＝－16，q＝12.故a3＝4或a3＝－4.题型分类·深度剖析解析答案思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.4或－4例1(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析跟踪训练1(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.B.31C.D.以上都不正确解析设{an}的公比为q，q0.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，3312314题型分类·深度剖析跟踪训练1(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.B.31C.D.以上都不正确解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，3312314所以S5＝a11－q51－q＝1×1－251－2＝31.B题型分类·深度剖析解析因为等差数列{an}的前n项和为(2)(2014·天津)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________.Sn＝na1＋nn－12d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－12.－12题型分类·深度剖析例2(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.题型二等比数列的性质及应用解析答案思维升华题型分类·深度剖析解析答案思维升华例2(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.题型二等比数列的性质及应用由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.又an0，所以a4＋a8＝51.题型分类·深度剖析解析答案思维升华例2(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.题型二等比数列的性质及应用51由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，又an0，所以a4＋a8＝51.所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.题型分类·深度剖析解析答案思维升华在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.例2(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.题型二等比数列的性质及应用51题型分类·深度剖析解析答案思维升华例2(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析解析答案思维升华例2(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，则可得S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.题型分类·深度剖析解析答案思维升华例2(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，则可得S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.－12题型分类·深度剖析解析答案思维升华在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.例2(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析跟踪训练2(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.解析由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝12S3代入得S9S3＝34.3∶4题型分类·深度剖析(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.解析方法一a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a41·q6＝1，①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8，②题型分类·深度剖析(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.②÷①：a41·q54a41·q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.题型分类·深度剖析(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024.1024题型分类·深度剖析(3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且，则＝____.SnTn＝n2n＋1由题意知S9T9＝lga1·a2·…·a9lgb1·b2·…·b9解析＝lga95lgb95＝lga5lgb5＝＝919.91955logba55logba题型分类·深度剖析解析题型三等比数列的判定与证明例3已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；思维升华题型分类·深度剖析解析思维升华证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－