1.5.1 解直角三角形在实际中的一般应用解析

第一章直角三角形的边角关系1.5三角函数的应用第1课时解直角三角形在实际中的一般应用1课堂讲解方位角借助工具测量的应用借助影子测量的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图1-13,海中有一个小岛A，该岛四周10nmile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.1知识点方位角1．定义：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，叫做方向角．如图，∠NOA，∠SOC，∠SOB，∠NOD都为方向角．目标方向OA表示的方向角为北偏东35°，目标方向OB表示的方向角为南偏东75°，目标方向OC表示的方向角为南偏西45°，也称西南方向，目标方向OD表示的方向角为北偏西40°.知1－导方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．如图，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角．目标方向OA表示的方位角为50°，目标方向OB表示的方位角为110°，目标方向OC表示的方位角为250°.知1－导拓展：(1)方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏(东、西)．(2)观测点不同，所得的方向角不同．知1－导2.易错警示：例1一轮船以15nmile/h的速度向正东方向航行，上午8时，该船在A处测得灯塔B位于它的北偏东30°方向，上午10时行至C处，测得灯塔B恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是多少？知1－讲（来自《点拨》）灯塔B位于A的北偏东30°方向，指的是∠DAB＝30°.由于对方向角的错误认识，导致错解．错解分析：知1－讲（来自《点拨》）如图，由题意知在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝90°－∠BAD＝90°－30°＝60°，AC＝15×2＝30(nmile)，∴BC＝AC·tan60°＝30×＝30(nmile)．即此时它与灯塔的距离是30nmile.解：3331某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，继续向东航行100m，到达B处后测得航标C在北偏东45°方向上，如图所示．现已知以航标C为圆心，以120m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有搁浅的危险？(≈1.732)知1－练（来自《点拨》）32知识点借助工具测量的应用知2－讲想一想如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m)知2－讲1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法：(1)弄清题意，画出示意图；(2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题；(3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线；(4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算；(5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答．知2－讲2、常见的图形与关系式如下表所示：图形关系式BD＝CEAC＝BC·tanαAE＝AC＋CEBD＝BC－DC＝AC·AG＝AC＋CG＝AC＋BEBC＝DC－DB＝AD·(tanα－tanβ)11tantan知2－讲续表：图形关系式BC＝BD＋DC＝AD·AB＝DE＝AE·tanβCE＝AE·tanαCD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)BC＝BE＋EF＋FC＝BE＋AD＋FC＝AD＋h·11tantan11tantan知2－讲例2〈益阳〉“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线形道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82m．求AB的长．(结果精确到0.1m．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)知2－讲设AD＝xm，在Rt△ABC中，利用∠BCA的正切值，可以用含x的代数式表示AB.同理在Rt△ABD中，利用∠BDA的正切值表示出AB，从而列出关于x的方程，求出x的值就能求出AB的长了．导引：知2－讲设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝∴AB＝AC·tan∠BCA＝(x＋82)tan68.2°m.在Rt△ABD中，tan∠BDA＝∴AB＝AD·tan∠BDA＝xtan76.1°m.∴(x＋82)tan68.2°＝xtan76.1°.∴x≈136.67.∴AB≈4×136.67≈546.7(m)．即AB的长约为546.7m.,ABAC解：,ABAD总结知2－讲（来自《点拨》）解直角三角形的应用问题，需要把实际问题转化为数学模型来解决．解决直角三角形有关的应用题最常用的方法是画图(包括作辅助线，构造直角三角形或特殊平行四边形)，根据所给数据，选用恰当的锐角三角函数求出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求解．警示点：(1)注意方程思想的运用；(2)注意结果必须根据题目要求进行保留．1长为4m的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高了________．知2－练（来自《典中点》）知2－练（来自《典中点》）2(2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为()A.B.C.D.11sin11sin11cos11cos知3－讲3知识点借助影子测量的应用例3如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2m，且AC＝17.2m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10m，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳(取1.73)．(1)求楼房的高度约为多少米．(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由．3(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，∵tan60°＝∴AB＝10·tan60°＝10≈10×1.73＝17.3(m)．即楼房的高度约为17.3m.(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM的交点为点H(如下图)．（来自《典中点》）知3－讲解：,10ABABAE3∵∠BFA＝45°，∴tan45°＝＝1，此时的影长AF＝AB≈17.3m．∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1m．∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫仍可以晒到太阳．（来自《典中点》）知3－讲ABAF1如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(4－2)m，则电线杆AB的长为________．知3－练（来自《典中点》）622(2015·绵阳)如图，要在宽为22m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()A．(11－2)mB．(11－2)mC．(11－2)mD．(11－4)m知3－练（来自《典中点》）23332利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．注意：当有些图形不是直角三角形时，可考虑适当添加辅助线构造直角三角形或其他特殊的四边形得出．1.必做：完成教材P21习题1.6T1-42.补充:请完成《典中点》剩余部分习题