1.5.1曲边梯形的面积

三国时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到——刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积观察图1和图2，如何求直边图形的面积？图3中，如何求曲边图形的面积？xy0xy0直线几条线段连成的折线曲线？xyo1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)一.求曲边梯形的面积x=ax=b因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）．P放大再放大PPly=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21n1n2nknnxOy2xy例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。35.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i,,xxf,ni,n1i,xΔ,n,35.1.xxf22235.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo.n,,2,1in1n1ixΔn1ifSΔSΔ,,SΔSΔ,ni,n1i,.45.12'iii'i则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲n1n1ixΔn1ifSΔSS45.1,232n1in1in1i'inn为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1n1n222231n21n1612113nnnn.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得.6121121222nnnn可以证明.31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0xΔ,n,,55.1,20,,8,41,04nn1innnn从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1,0的等分数区间nSS的近似值51225612864321684233235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0?,ξfni,n1iξ?31,?S,nifnin,,2,1ini,n1ixxf,ii2情况又怎样作为近似值的函数值处取任意吗这个值也是若能求出的值吗用这种方法能求出处的函数值点上的值近似地等于右端区间在如果认为函数中近似代替在探究n1n2nknnxy2xynnn2ii1i1i12222311SSf()()nnnn1[12(n1)]niin(过剩近似值)n1n2nknnxy2xy2222331S[12(n1)]n1(1)(21)1111(1)(2)n663nnnnnn(过剩近似值).31ξfn1limxΔξflimS,ξfξni,n1ixxf,inn1iinii2都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明abxyxfyoafbf15.1图.,15.1,值的方法求出其面积似代替、求和、取极也可以采用分割、近我们所示的曲边梯形对如图一般地限1.当n很大时，函数在区间上的值，可以用()近似代替。A.B.C.D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif0f练习B2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值B.可以是该区间内任一点的函数值C.只能是右端点的函数值D.以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)((1iiiixxf1,iixx小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法2.有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。(1)分割(2)求面积的和1.把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。(3)取极限noxy