1.5.3《定积分的概念》课件 (1)

定积分的概念一、定积分的定义11()()nniiiibafxfn小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnba即Oabxy)(xfySbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为sbav(t)dt。Oab()vvttv定积分的定义：1()lim()ninibafxdxfnba即112001()3Sfxdxxdx根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213S1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Svtdttdt根据定积分的定义左边图形的面积为3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注：2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b](2)定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([，dxxfba)(．abyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。SS•2．定积分和曲边梯形面积的关系•设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则•(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，•则•图(1)图(2)(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则abf(x)dx＝．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则abf(x)dx＝．若S上＝S下，则abf(x)dx＝.图(3)－S下S上－S下0abyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx三:定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃ性质3不论a，b，c的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。例1：利用定积分的定义,计算的值.130xdx例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：0sin20xdx200sin2sinxdxxdx1）．2）.1）．2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)aby例4dxx1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以