函数的对称性

第1页共16页函数的基本性质一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。定义：（略）定理1：2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是增函数；1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间）若bax,，那么baxfxf,)(0在上是增函数；baxfxf,)(0在上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法(3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()yfu和()ugx，如果函数()ugx在区间(,)ab上具有单调性，当,xab时,umn，且函数()yfu在区间(,)mn上也具有单调性，则复合函数(())yfgx在区间,ab具有单调性。3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()fx和()gx，若它们的定义域分别为I和J，且IJ：(1)当()fx和()gx具有相同的增减性时，①1()()()Fxfxgx的增减性与()fx相同，②2()()()Fxfxgx、3()()()Fxfxgx、4()()(()0)()fxFxgxgx的增减性不能确定；(2)当()fx和()gx具有相异的增减性时，我们假设()fx为增函数，()gx为减函数，那么：①1()()()Fxfxgx的增减性不能确定；第2页共16页②2()()()Fxfxgx、3()()()Fxfxgx、4()()(()0)()fxFxgxgx为增函数，5()()(()0)()gxFxfxfx为减函数。4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。1.函数()yfx的图象的对称性（自身）:定理1:函数()yfx的图象关于直2abx对称()()faxfbx()()fabxfx特殊的有：①函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx。②函数()yfx的图象关于y轴对称（奇函数）)()(xfxf。③函数)(axfy是偶函数)(xf关于ax对称。定理2：函数()yfx的图象关于点(,)ab对称()2(2)fxbfaxbxafxaf2)()(特殊的有：①函数()yfx的图象关于点(,0)a对称()(2)fxfax。②函数()yfx的图象关于原点对称（奇函数）)()(xfxf。③函数)(axfy是奇函数)(xf关于点0,a对称。定理3：（性质）①若函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。②若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。第3页共16页③若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:①函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.②函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称.特殊地:()yfxa与函数()yfax的图象关于直线xa对称③函数()yfx的图象关于直线xa对称的解析式为(2)yfax④函数()yfx的图象关于点(,0)a对称的解析式为(2)yfax⑤函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。3．奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数()fx和()gx，若它们的定义域分别为I和J，且IJ：（1）满足定义式子)()(xfxf（偶）0)()(xfxf（奇）（2）在原点有定义的奇函数有0)0(f(3)当()fx和()gx具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：①函数1()()()Fxfxgx、3()()()Fxfxgx也为奇函数；②2()()()Fxfxgx、4()()(()0)()fxFxgxgx为偶函数；③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数(4)当()fx和()gx具有相异的奇偶性时，那么：①1()()()Fxfxgx、3()()()Fxfxgx的奇偶性不能确定；②2()()()Fxfxgx、4()()(()0)()fxFxgxgx、5()()(()0)()gxFxfxfx为奇函数。简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数.第4页共16页（6）任意函数)(xf均可表示成一个奇函数)()(21)(xfxfxg与一个偶函数)()(21)(xfxfxh的和。（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性关于y轴对称的函数（偶函数）关于原点0,0对称的函数（奇函数）（9）若)(xf是偶函数，则必有)()(baxfbaxf若)(xf是奇函数，则必有)()(baxfbaxf（10）若)(baxf为偶函数，则必有)()(baxfbaxf若)(baxf是奇函数，则必有)()(baxfbaxf（11）常见的奇偶函数三、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。1.周期性的定义对于函数)(xfy，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数()fx的周期，那么T、nT（*nN）也是函数()fx的周期。2.函数的周期性的主要结论：结论1：如果()()fxafxb（ab），那么()fx是周期函数，其中一个周期Tab结论2：如果()()fxafxb（ab），那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tab结论3：如果定义在R上的函数()fx有两条对称轴xa、xb对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tab结论4：如果偶函数()fx的图像关于直线xa（0a）对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Ta结论5：如果奇函数()fx的图像关于直线xa（0a）对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期4Ta结论6：如果函数同时关于两点,ac、,bc（ab）成中心对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tab结论7：如果奇函数()fx关于点,ac（0a）成中心对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Ta结论8：如果函数()fx的图像关于点,ac（0a）成中心对称，且关于直线xb（ab）成第5页共16页轴对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期4Tab结论9：如果1()()fxpfx或1()()fxpfx，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tp结论10：如果1()()21()pfxfxfx或1()()21()pfxfxfx，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tp结论11：如果()()fxpfx，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tp例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例6.求证:若fxxR为奇函数，则方程fx=0若有根一定为奇数个。证:fx为奇函数0f-0f=0f20f=0即x=0是方程fx=0的根若1x是fx=0的根，即1fx=0由奇数定义得1fx1fx=01x也是方程的根即方程的根除x=0外成对出现。方程根为奇数个。例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。第6页共16页解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001故f(4)=2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－21x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)一、反函数的性质和应用（1）定义域值域相反（2）图象关于xy对称（3）具有相同的单调性、奇偶性（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数（5）原函数过ba,则反函数过ab,反之亦然（6）xxff)(1，xxff))((1，但不一定等于)(1xff))((1xff仅当)(xf值域定义域才成立（二）奇偶函数性质第7页共16页（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有0)0(f（3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数．（6）任意函数)(xf均可表示成一个奇函数)()(21)(xfxfxg与一个偶函数)()(21)(xfxfxh的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性（三）周期性：定义、判断常见具有周期性的函数)()(xfaxf)(1)()(1)(xfaxfxfa