函数的对称性

函数的对称性有些函数其图像有着优美的对称性，同时又有着优美的对称关系式1-3-1-2165432-xx(1)(1)FF(2)(2)FF()()FxFx780x（偶函数）Y=F(x)图像关于直线x=0对称知识回顾从”形”的角度看，从”数”的角度看，F(-x)=F(x)XY1-3-1-2165432782x()fxf(x)=f(4-x)f(1)=f(0)=f(-2)=f(310)=f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)图像关于直线x=2对称f(3)f(4)从”形”的角度看，从”数”的角度看，xy1f(1+x)=f(3-x)f(2+x)=f(2-x)f(x)=f(4-x)对于任意的x你还能得到怎样的等式？从”形”的角度看，从”数”的角度看，Y=f(x)图像关于直线x=2对称1-3-1-26543272x()fx0x4-xYx-2-x1-3-1-216543278x=-1f(x)=f(-2-x)x思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称Yx-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1f(-1+x)=f(-1-x)思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称f(x)=f(-2-x)Yx1猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称f(x)=f(2a-x)xaf(a-x)=f(a+x)xa在y=f(x)图像上任取一点P点P关于直线x=a的对称点P’则有P’的坐标应满足y=f(x)也在f(x)图像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)即：f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)图像关于直线x=a对称（代数证明）()求证已知y=f(x)图像关于直线x=a对称f(x)=f(2a-x)xa在y=f(x)图像上任取一点P若点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)图像关于直线x=a对称（代数证明）()已知求证y=f(x)图像关于直线x=a对称则y=f(x)图像关于直线x=a对称?f(x)=f(2a-x)P’在f(x)的图像上y=f(x)图像关于直线x=a对称f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)y=f(x)图像关于直线x=0对称f(x)=f(-x)特例：a=0轴对称性思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于对称a+b2x=直线xa-xxxyoF(-x)+F(x)=0y=F(x)图像关于(0,0)中心对称中心对称性类比探究a从”形”的角度看，从”数”的角度看，F(x)+F(2a-x)=0xyoay=F(x)图像关于(a,0)中心对称从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究x2a-xF(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0xyoa从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究a+xa-xy=F(x)图像关于(a,0)中心对称baF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中心对称性y=F(x)图像关于(a,b)中心对称类比探究xyo思考？(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,则函数图像关于对称a+b2(,0)点则函数图像关于对称a+b2(,C)点知识内容：函数图像的对称性对称关系式y=F(x)图像关于x=a轴对称F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x)y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称F(x)+F(2a-x)=2bF(a-x)+F(a+x)=2b数学思想方法:1.数形结合2.由特殊到一般3.类比思想知识迁移：已知对任意x，有f(x+2)=f(-x),当x[2,3]，y=x求当x[-1,0]时，f(x)的解析式？谢谢!奇函数F(-x)=-F(x)即：F(-x)+F(x)=0函数图像关于(0,0)中心对称-xxF(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0函数图像关于(a,0)中心对称-xxa函数图像关于(a,0)中心对称F(a+x)+F(a-x)=0F(x)+F(2a-x)=0函数图像关于(a,0)中心对称-xx函数图像关于直线x=0对称F(-x)=F(x)函数图像关于直线x=a对称F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于(0,0)中心对称函数图像关于(a,0)中心对称F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0轴对称中心对称性a()fx函数图像关于轴对称xa()()faxfaxxD证明：（必要性）xxxxxx1-3-1-2654321-3-1-22-xx1-3-1-2165432-xx(1)(1)FF(2)(2)FF()()FxFx78()fx6x(5)(7)ff(4)(8)ff(6)(6)fxfx6x(6)(6)fxfx思考？若函数图像关于轴对称，()fxxa()fx有怎样的对称关系式？0xxa函数y=f(x)图像关于x=a轴对称证明：（必要性）任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)若点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上．分析：P(x0,y0)P’P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)Y0=f(2a-x0)y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点都在y=f(x)图像上则y=f(x)图像上图象关于x=a对称则由P的任意性可知？f(x)=f(2a-x)函数图像关于直线x=0对称F(-x)=F(x)函数图像关于直线x=a对称F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于(0,0)中心对称函数图像关于(a,0)中心对称?xa任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0))设P’是P关于直线x=a的对称点由f(x)图像关于x=a对称P’也在y=f(x)图像上P(x0,y0)P’f(2a-x0)=f(x0)即：f(x)=f(2a-x)x02a-x0P’(2a-x0,y0)猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称f(x)有怎样的对称关系式？f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)证明:()y0=f(x0)P(x0,f(x0))若P’也在f(x)图像上，xa(2a-x0,y0)P’P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)f(2a-x0)=f(x0)y0？=f(2a-x0)=y0P’在f(x)的图像上函数y=f(x)图像关于x=a轴对称任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)设P’是关于P直线x=a的对称点(需验证)猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称f(x)有怎样的对称关系式？f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)证明:()