2015-2016学年高中数学 4.1.1圆的标准方程课件 新人教A版必修2

第四章圆与方程§4.1圆的方程4．1.1圆的标准方程课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身1.圆的标准方程．设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是________________________．当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是____________________．2．点和圆的位置关系．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________.1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2自我校对2.drd＝rdr名师讲解1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外．其判断方法是由两点间的距离公式，求出该点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小即可．设点P(x0，y0)到圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心C的距离为d，则d＝|PC|＝x0－a2＋y0－b2，所以当dr，即当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点P在圆C的外部；当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点P在圆C的内部；当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点P在圆C上．反之也成立．2．求圆的标准方程的常用方法(1)几何法．利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．(2)待定系数法．由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．课堂互动探究剖析归纳触类旁通求圆的标准方程一【例1】求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为3；(2)圆心在点(－2,1)，半径为5；(3)经过点P(5,1)，圆心在点(8，－3)．【分析】(1)、(2)直接写圆的方程，(3)可根据两点间的距离公式求半径，再写出圆的标准方程．典例剖析【解】(1)∵圆心(0,0)，半径为3，∴圆的方程为x2＋y2＝9.(2)∵圆心(－2,1)，半径r＝5，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.(3)解法1：∵圆的半径r＝8－52＋－3－12＝5，又圆心为(8，－3)，∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.解法2：∵圆心为(8，－3)，故可设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2.∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25.∴所求圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.规律技巧圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r，这时圆的方程被确定，因此，确定圆的方程，需要三个独立条件，其中圆心(a，b)是定位条件，半径r是定形条件．【例2】求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．【解】解法1：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a－b－3＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝2，b＝1，r＝10.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.解法2：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．线段AB的垂直平分线方程为y＝－12(x－4)．设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有2a－b－3＝0，b＝－12a－4，解得a＝2，b＝1.∴C(2,1)，r＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.解法3：设点C为圆心，∵点C在直线2x－y－3＝0上，∴设点C的坐标为(a,2a－3)．又∵圆C过点A(5,2)和点B(3，－2)，∴|CA|＝|CB|.∴a－52＋2a－3－22＝a－32＋2a－3＋22，解得a＝2.∴圆心C(2,1)，半径r＝10，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.规律技巧本例应用了求圆的方程的三种方法，法1是待定系数法，思路清楚，体现了方程的思想，但计算量较大.法2和法3是利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径.解答简捷，运算量也较小.因此，在解题过程中，要仔细审题，充分利用平面几何图形的性质，把代数方法和几何方法有机结合起来，达到快速解题的目的.点和圆的位置关系二【例3】求以直线l1：2x－y－2＝0与直线l2：x－2y＋5＝0的交点为圆心，且过原点的圆的方程．并判断点M(1,3)，N(7,1)，Q(6，－3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？【解】由2x－y－2＝0，x－2y＋5＝0，得x＝3，y＝4.∴圆心坐标为(3,4)，半径r＝32＋42＝5，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.∵圆心C(3,4)，r＝5，分别计算各点到圆心的距离：|CM|＝1－32＋3－42＝55；|CN|＝7－32＋1－42＝5；|CQ|＝6－32＋－3－42＝585.因此，点M在圆内，点N在圆上，点Q在圆外．规律技巧判断点与圆的位置关系，通常用两种方法，一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定，当dr时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当dr时，点在圆内.另一种方法是把点Px0，y0代入圆的方程，若x－x02＋y－y02r2，则点P在圆外；若x－x02＋y－y02＝r2，则点P在圆上；若x－x02＋y－y02r2，则点P在圆内.随堂训练1.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析依题意知圆心(0，b)，圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，把点(1,2)代入，得b＝2，∴x2＋(y－2)2＝1为所求．答案A2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋2)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析设圆上任一点的坐标为(x0，y0)，则有x20＋y20＝4.设连线中点的坐标为(x，y)，则2x＝x0＋4，2y＝y0－2，⇒x0＝2x－4，y0＝2y＋2.代入x20＋y20＝4，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案A3．根据下列条件求圆的方程．(1)圆的一条直径的两个端点A(－1,4)，B(3,2)；(2)圆心(2,3)，经过坐标原点．解(1)由题意知圆心为AB的中点，其坐标为(1,3)，半径r＝12|AB|＝123＋12＋2－42＝5.∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.(2)由题意知圆心(2,3)，半径r＝22＋32＝13，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.4．(1)求圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，－3)的圆的标准方程；(2)求经过点A(－1,4)、B(3,2)，圆心在y轴上的圆的方程．解(1)设圆心在x轴上，半径为5的圆的方程为(x－a)2＋y2＝52.∵点A在圆上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25.∴a＝－2，或a＝6.故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25，或(x－6)2＋y2＝25.(2)∵圆心在y轴上，∴可设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.∵圆经过A，B两点，∴－12＋4－b2＝r2，32＋2－b2＝r2，∴b＝1，r2＝10.∴圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.5．已知点A(1,2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的内部，求a的取值范围．解∵点A(1,2)在圆的内部，∴(1＋a)2＋(2－a)22a2，即5－2a0.∴a52，此时圆的半径r＝2|a|0，∴a的取值范围是a|a52.