高一数学必修四综合试题及详细答案

第1页共7页必修四综合测试1一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同2．已知角的终边过点mmP34，，0m，则cossin2的值是（）A．1或－1B．52或52C．1或52D．－1或523．下列命题正确的是（）A．若a·b=a·c，则b=cB．若||||baba，则a·b=0C．若a//b，b//c，则a//cD．若a与b是单位向量，则a·b=14．计算下列几个式子，①35tan25tan335tan25tan,②2(sin35cos25+sin55cos65),③15tan115tan1,④6tan16tan2，结果为3的是（）A．①②B．③C．①②③D．②③④5．函数y＝cos(4－2x)的单调递增区间是（）A．[kπ＋8，kπ＋85π]B．[kπ－83π，kπ＋8]C．[2kπ＋8，2kπ＋85π]D．[2kπ－83π，2kπ＋8]（以上k∈Z）6．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程22coscoscos02CxxAB有一根为1，则△ABC一定是A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．将函数)32sin()(xxf的图像左移3，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则所得到的图象的解析式为（）A．xysinB．)34sin(xyC．)324sin(xyD．)3sin(xy8.化简10sin1+10sin1，得到（）A．－2sin5B．－2cos5C．2sin5D．2cos59．函数f(x)=sin2x·cos2x是（）A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为2的偶函数D．周期为2的奇函数.10．若|2|a，2||b且（ba）⊥a，则a与b的夹角是（）A．6B．4C．3D．125第2页共7页11．正方形ABCD的边长为1，记AB＝a，BC＝b，AC＝c，则下列结论错误．．的是（）A．(a－b)·c＝0B．(a＋b－c)·a＝0C．(|a－c|－|b|)a＝0D．|a＋b＋c|＝212．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是22cossin,251则的值等于（）A．1B．2524C．257D．－257二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把正确答案填在题中的横线上）13．已知曲线y=Asin(x＋)＋k（A0,0,||π）在同一周期内的最高点的坐标为(8,4)，最低点的坐标为(85,－2)，此曲线的函数表达式是．14．设sin－sin=31，cos+cos=21,则cos(+)=．15．已知向量OPXOBOAOP是直线设),1,5(),7,1(),1,2(上的一点（O为坐标原点），那么XBXA的最小值是___________．16．关于下列命题：①函数xytan在第一象限是增函数；②函数)4(2cosxy是偶函数；③函数)32sin(4xy的一个对称中心是（6，0）；④函数)4sin(xy在闭区间]2,2[上是增函数;写出所有正确的命题的题号：。三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知434，40，53)4cos(，135)43sin(，求sin的值.18．（本小题满分12分）已知函数xxxfcos3sin)(。（I）求)(xf的周期和振幅；（II）用五点作图法作出)(xf在一个周期内的图象;（III）写出函数)(xf的递减区间.第3页共7页19．（本小题满分12分）已知关于x的方程0)13(22mxx的两根为sin和cos，∈（0，π）.求：（I）m的值；（II）tan1cos1tansintan的值；（III）方程的两根及此时的值.20．（本小题满分12分）已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2,23).（I）若|AC|=|BC|，求角α的值；（II）若AC·BC=-1，求tan12sinsin22的值.21．（本小题满分12分）某港口海水的深度y（米）是时间t（时）（240t）的函数，记为：)(tfy已知某日海水深度的数据如下：t（时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，)(tfy的曲线可近似地看成函数btAysin的图象（I）试根据以上数据，求出函数btAtfysin)(的振幅、最小正周期和表达式；（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？22．（本小题满分14分）已知向量)90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2ba（I）求证：ba；（II）若存在不等于0的实数k和t，使btakybtax,)3(2满足yx。试求此时ttk2的最小值。第4页共7页参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1.C2.B3.B4.C5.B6.B7.B8.A9.D10.B11.D12.D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．1)42sin(3xy14．725915．－816．③三、解答题：17．（本小题满分12分）解：∵434∴42---------------1分又53)4cos(∴54)4sin(---------------3分∵40∴4343-------------4分又135)43sin(∴1312)43cos(----------6分∴sin(+)=sin[+(+)]----------------8分=)]43()4sin[()]43sin()4cos()43cos()4[sin(------10分6563]13553)1312(54[-----------12分18．（本小题满分12分）解：（I）)cos23sin21(2xxy＝)3sincos3cos(sin2xx＝)3sin(2x-----------2分函数)(xf的周期为T＝2，振幅为2。----------------4分（II）列表：-----------------7分图象如上。----------------9分x363267353x02232)3sin(2xy020-20第5页共7页（III）由)(232322Zkkxk解得：---------10分)(67262Zkkxk所以函数的递减区间为)(],672,62[Zkkk-------12分19．（本小题满分12分）（I）由韦达定理得：213cossin----------1分∴4432cossin21∴23cossin2---------2分由韦达定理得2cossinm=43∴23m--------3分（II）∵2)231(cossin21∴213cossin---4分∵tan1cos1tansintan=sincoscoscossinsin22=cossincossincossin22---------6分∴原式=213cossin-----------------------7分（III）23cossin20∵sin与cos同号，又∵cossin0∴sin与cos同正号-------------------------8分∵∈（0，π）∴∈（0，2）------------------9分∵213cossin，且213cossin∴sin=23，cos=21；或sin=21，cos=23--------11分∴=6或=3.---------------------------12分20．（本小题满分12分）解：（I）∵AC=(cosα-3,sinα)，BC=(cosα,sinα-3),--2分∴|AC|=cos610sin)3(cos22,第6页共7页|BC|=sin610)3(sincos22.--------------4分由|AC|=|BC|得sinα=cosα.又∵α∈(2,23)，∴α=45.----------------------6分（II）由AC·BC=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=32---8分由上式两边平方得1+2sinαcosα=94,∴2sinαcosα=95.----------------------------10分又cossin1)cos(sinsin2tan12sinsin22=2sinαcosα.∴95tan12sinsin22.-------------------------12分21．（本小题满分12分）解：（I）依题意有：最小正周期为：T=12--------1分振幅：A=3，b=10，62T---------2分10)6sin(3)(ttfy----------------------4分（II）该船安全进出港，需满足：55.6y即：5.1110)6sin(3t21)6sin(t---------6分∴Zkktk652662Zkktk512112-----------------------8分又240t51t或1713t------------10分依题意：该船至多能在港内停留：16117（小时）----12分22．（本小题满分14分）解：由诱导公式得：)cos,sin,sin2,cos2ba-------2分12ba-------------------------3分（I）0cos)sin2(sincos2ba则ba---------5分（II）btakybtax,)3(2yx0yx-------------------------6分即：0][])3([2btakbta第7页共7页0)3()])(3([2222bttbakttak∴4)3(0)3(422ttkttk-----------------------9分∴47)2(41]7)2[(41434)(2222ttttttktf------12分即当2t时，ttk2的最小值为47.---------------14分