【数学】3.3.3-函数的最大(小)值与导数-课件1(人教A版选修1-1)

第三章导数及其应用3.3.3函数的最大（小）值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0复习:一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数二、函数的极值定义oxyoxy0x0x使函数取得极值的点x0称为极值点•求解函数极值的一般步骤：•（1）确定函数的定义域•（2）求函数的导数f’(x)•（3）求方程f’(x)=0的根•（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格•（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？135(),(),()fxfxfx观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值。246(),(),()fxfxfx新课导学学习课本P96-P98，回答下面问题：xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x61、你能找出函数在区间[a,b]上的最大值，最小值吗？2、如果区间变成（a,b）,函数f(x)的最值怎么样？3.函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？最大值一定比最小值大吗？4、学习例5归纳求函数最值的步骤.(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6),(bax］［bax,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)1、课本p98练习2、求函数y=xlnx的最小值拓展提高1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？如下图：不一定2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。3、如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。一.是利用函数性质二.是利用不等式三.是利用导数求函数最值的一般方法小结：第三章导数及其应用3.3.3函数的最大（小）值与导数（二）函数最值的应用•例3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．•(1)求f(x)的最小值h(t)；•(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．•课堂讲义•规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，•一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.•对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．•(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．课堂讲义•跟踪演练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，•(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．•(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．•解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．•∴当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；•当x∈(2,3)时，f′(x)0.•∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.•又f(3)＝9＋8cf(1)，•∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.课堂讲义•∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，•∴9＋8cc2，即c－1或c9.•∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．•(2)由(1)知f(x)f(3)＝9＋8c，•∴9＋8c≤c2.•即c≤－1或c≥9，•∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．课堂讲义•1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是()•A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)•C．f(2)，f(5)D．f(5)，f(3)•答案B当堂检测•解析∵f′(x)＝－2x＋4，•∴当x∈[3,5]时，f′(x)0，•故f(x)在[3,5]上单调递减，•故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．当堂检测•2．函数f(x)＝x3－3x(|x|1)()•A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值•C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值•答案D•解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.当堂检测•答案C当堂检测3．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B.π2－1C．πD．π＋1解析因为y′＝1－cosx，当x∈π2，π时，y′0，则函数在区间π2，π上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.•4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．•答案－71•解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．•由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.•又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，•f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.•由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，•∴f(x)min＝k－76＝－71.当堂检测小结：“恒成立”问题可转化为函数最值问题．一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.