高中数学应用题

1高中应用题专题复习例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。解：容积=底面积×高=48底面积×3=48底面另一边长：m=x16池壁造价=池壁面积×a=2(3x+3m)×a=6(x+x16)a=6(x+x16)a池底造价=底面积×2a=16×2a=32a∴y=6(x+x16)a+32a(x0)例2.有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.解：如图设x,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=67x∴窗框的高为3x，宽为376x即窗框的面积y=3x·376x=7x2+6x(0x76)配方：y=79)73(72x(0x2)∴当x=73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.3．利润问题：（1）利润=收入成本（2）利润=单位利润×销售量例3.将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价进货单价=108=2（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润=2+x元,销售量为10010x个∴每个商品的利润y=(2+x)(10010x)=10x2+80x+200=10(x4)2+360即当x=4时，y有最大值360∴当每个商品的单价为14元时，利润最大.4．与增长率相关的问题：〖要点〗增长率为正：原产量×(1+增长的百分率)经过x年增长率为负：原产量×(1增长的百分率)经过x年例5.一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%.写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x年后，年产量为y,则y=a(1+p%)x例9.画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：（1）第10个正方形的面积（2）这10个正方形的面积的和解：（1）设{an}表示各正方形的面积∵a1=22=4,a2=(22)2,a3=42=8∴{an}是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a10=a1q9=4×29=2048(厘米2)（2）这10个正方形的面积和409221)21(41)1(1010110qqaS（厘米2）例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下.当它第10次着地时，共x2x224xy0BAOyxMBAOyxF1F2··MPAB经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a1,a2,…,a10.∵a1=100,a2=50,a3=25∴{an}是公比为21的等比数列则球第10次落下时落下的路程为20012825575211])21(1[1001010S∴本球共经过的路程为S=2S10100≈300（米）一．解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米.当水面下降1米时，水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2=2py依题意知：x=2时，y=2代入方程得p=1即抛物线方程为x2=y,当水面下降1米时，y=3x=3∴水面宽为2x=32≈3.5(米)例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵ac=|OA||OF2|=|F2A|=6371+439=6810a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755∴a=7782.5,c=972.5b2=7721.52即卫星的轨道方程是：步1772277832222yx例18．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t+3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M则|MA|=340t,|MB|=340(t+3)=340t+1020两式相减：|MA||MB|=1020(|AB|=14001020)∴炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）∴A(700,0),B(700,0)c=700且2a=1020a=510b2=229900炮弹爆炸的轨迹方程是：122990026010022yx(x0)例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区.P往灾区有两条道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB=50公里.为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近.求出该界线的方程.解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿PA线路（2）沿PB线路（3）沿PA、PB线路都相同故分界线以第（3）种情况划分：即|PA|+|MA|=|PB|+|MB|110+|MA|=150+|MB|∴|MA||MB|=40,即知分界线是以A、B为焦点的双曲线AB=502c=50c=25,2a=40a=20b2=225若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是：122540022yx（在矩形内的一段）注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.3练习：1某森林出现火灾，火势正以每分钟2m100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：llkvd212（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60（km/h)时，车距为2.66个车身长。（1）写出车距d关于车速v的函数关系式;（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？3电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD）（1）若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元(1)设半圆的半径OA=r(米),试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)(2)由于条件限制30,40r,问当r取何值时,运动场造价最低?（精确到元）10某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（13)0mkxm满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）．（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？13某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲乙(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?16某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用0()mm万元满足31kxm（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万4件.已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？17某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围)400,200[)500,400[)700,500[)900,700[……获得奖券的金额（元）3060100130……根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）。设购买商品得到的优惠率=商品的标价购买商品得到的优惠额，试问（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率？18如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米，（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积；(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积。19已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为8.1元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下:7天以内（含7天），无论重量多少，均按．．10．．元．/．天支付．．．；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天．．．0.03．．．．元．/．千．克支付．．．.高考资源网（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？高考资源网（2）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用．．．y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少?高考资源网20假设A型进口车关税税率在2003年是100%，在2008年是25%，在2003年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2003年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年等额降低，问每年至少下降多少万元？（2）某人在2003年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按（1）