正余弦定理复习课课件

第6讲正弦定理和余弦定理【学习目标】1．掌握正余弦定理及其变形公式的内容．2．会利用正、余弦定理解决与三角形面积有关的问题．3．会灵活利用正、余弦定理解任意三角形．自学指导1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝，b＝，c＝；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2RsinA2RsinB2RsinC2．余弦定理：a2＝，b2＝，c2＝．余弦定理可以变形为：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.b2＋c2－2bccosAa2＋b2－2abcosCa2＋c2－2accosB如何选择正余弦定理解三角形１．已知三边选择定理２．已知两边夹一角选择定理３．已知两边及一边对角选择定理４．已知一边两角选择定理余弦余弦正弦或余弦正弦4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形三角形ABC中已知a,b,A当A为锐角时，三角形解的个数关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥b解的个数无解一解两解一解【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.思考1：本题可以用余弦定理解决吗？思考2：如果将例题中的“”改为“”结果有何不同？3a1a(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．当然也可以用余弦定理解决。(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．[审题视点]由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．思考：本题还可以用其他方法解决吗？总结：当所给方程中既有边又有角时，我们要灵活应用正余弦定理的变形公式进行边角互化，以减少方程中的未知数以便于解方程。清学稿1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．A．52B．102C.1063D．56解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：asinA＝csinC，即1032＝c22.∴c＝1063.答案C2．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－32，故C＝150°为三角形的最大内角．答案150°3.根据下列条件解三角形时，会出现唯一解的有______30,8,9)4(45,16,14)3(120,8,7)2(135,25,30)1(AbaAbaAbaAba(1)(4)4.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bcsinA＝3.5设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解(1)因为cosB＝45，所以sinB＝35.由正弦定理asinA＝bsinB，可得asin30°＝103，所以a＝53.(2)因为△ABC的面积S＝12ac·sinB，sinB＝35，所以310ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－85ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝210.课堂小结（1）掌握正余弦定理的内容及变形公式今天你有什么收获？（2）能灵活选择正余弦定理解三角形（3）已知三角形两边及其中一边对角时三角形可能会出现一解、两解、无解（4）灵活应用三角形面积公式求三角形面积