2014高考调研理科数学课本讲解_6-3_3 数列的综合应用_专题研究

课时作业新课标版·数学（理）高考调研专题研究三数列的综合应用课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N*，均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2012.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【思路】第一小问利用公差和首项分别表示出第2项、第5项、第14项，根据等比数列的项之间的对应关系列出公差d满足的方程求解，即可求得，然后求出等比数列中的b2，b3，b4，从而确定等比数列的首项和公比，写出它们的通项公式；第二小问根据an，bn，cn之间的关系，利用an＋1与an的表达式便可求出cn的表达式，根据数列{cn}的通项公式确定求和方法．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d.∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．解得d＝0或d＝2.又∵d0，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴等比数列{bn}的公比q＝b3b2＝93＝3.∴bn＝b2qn－2＝3×3n－2＝3n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1，①得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.②①－②，得n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.∴cn＝2bn＝2×3n－1(n≥2)．课时作业新课标版·数学（理）高考调研而n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴cn＝3n＝1，2bn＝2×3n－1n≥2.∴c1＋c2＋…＋c2012＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32011＝3＋6－2×320111－3＝3－3＋32011＝32011.课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究1高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化，同时还要注意利用数的整除性知识进行解题．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)法一：由S3，S9，S6成等差数列，得S3＋S6＝2S9.若q＝1，则S3＋S6＝9a1,2S9＝18a1.由a1≠0，得S3＋S6≠2S9，与题意不符，∴q≠1.由S3＋S6＝2S9，得a11－q31－q＋a11－q61－q＝2a11－q91－q.整理，得q3＋q6＝2q9，由q≠0且q≠1，得q3＝－12.课时作业新课标版·数学（理）高考调研法二：由S3，S9，S6成等差数列，得S9－S3＝S6－S9.∴a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝－(a7＋a8＋a9)．移项得a4＋a5＋a6＋2(a7＋a8＋a9)＝0.∴(a4＋a5＋a6)(1＋2q3)＝0.∵a4＋a5＋a6＝a4(1＋q＋q2)≠0，∴1＋2q3＝0，∴q3＝－12.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)证明：法一：由(1)知，a8＝a2×q6＝14a2，a5＝a2×q3＝－12a2，a8－a2＝a5－a8，所以a2，a8，a5成等差数列．法二：由(1)知，a2＋a5－2a8＝a2×(1＋q3－2q6)＝a2(1－12－2×14)＝0，所以a2，a8，a5成等差数列．【答案】(1)－12(2)略课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2已知函数f(x)对任意实数p，q都满足f(p＋q)＝f(p)·f(q)，且f(1)＝13.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)设an＝nf(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项的和，求证：Sn34；课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)设bn＝nfn＋1fn(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn与6的大小．【解析】(1)由题意知，f(n＋1)＝f(n)·f(1)，f(1)＝13，∴f(n＋1)＝13f(n)(n∈N*)．∴数列{f(n)}(n∈N*)是以f(1)＝13为首项，13为公比的等比数列．∴f(n)＝13×(13)n－1，即f(n)＝(13)n(n∈N*)．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)由(1)知，an＝n(13)n，则Sn＝1×13＋2×(13)2＋3×(13)3＋…＋(n－1)(13)n－1＋n(13)n，①13Sn＝1×(13)2＋2×(13)3＋3×(13)4＋…＋(n－1)(13)n＋n(13)n＋1.②课时作业新课标版·数学（理）高考调研①－②，得23Sn＝13＋(13)2＋(13)3＋…＋(13)n－n(13)n＋1＝13[1－13n]1－13－n(13)n＋1＝12[1－(13)n]－n(13)n＋1.∴Sn＝34－34(13)n－n2(13)n.∵n∈N*，∴Sn34.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)由题知，bn＝nfn＋1fn＝13n，则Tn＝13×nn＋12＝nn＋16.∴1Tn＝6(1n－1n＋1)．∴1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn＝6(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1)＝6(1－1n＋1)．∵n∈N*，∴1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn6.课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究2数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题2已知函数f(x)＝ax的图像过点(1，12)，且点(n－1，ann2)(n∈N*)在函数f(x)＝ax的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－12an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn5.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)∵函数f(x)＝ax的图像过点(1，12)，∴a＝12，f(x)＝(12)x.又点(n－1，ann2)(n∈N*)在函数f(x)＝ax的图像上，从而ann2＝12n－1，即an＝n22n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)由bn＝n＋122n－n22n＝2n＋12n，得Sn＝32＋522＋…＋2n＋12n.则12Sn＝322＋523＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1.两式相减，得12Sn＝32＋2(122＋123＋…＋12n)－2n＋12n＋1.∴Sn＝5－2n＋52n，∴Sn5.课时作业新课标版·数学（理）高考调研例3设曲线y＝x2＋x＋2－lnx在x＝1处的切线为l，数列{an}的首项a1＝－m(其中常数m是正奇数)，且对任意n∈N*，点(n－1，an＋1－an－a1)均在直线l上．(1)求出{an}的通项公式；(2)令bn＝nan(n∈N*)，当an≥a5恒成立时，求出n的取值范围，使得bn＋1bn成立．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【思路】问题(1)可先利用求导公式求得直线的斜率，进而求出直线方程，利用累加法即求得数列的通项公式；问题(2)是恒成立问题，可转化为数列的单调性问题进而求得数列的最小值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)由y＝x2＋x＋2－lnx，知x＝1时，y＝4.又y′|x＝1＝(2x＋1－1x)|x＝1＝2，∴直线l的方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.课时作业新课标版·数学（理）高考调研又点(n－1，an＋1－an－a1)在l上，∴an＋1－an＋m＝2n，即an＋1－an＝2n－m(n∈N*)．∴a2－a1＝2－m，a3－a2＝2×2－m，……an－an－1＝2×(n－1)－m.课时作业新课标版·数学（理）高考调研各项相加，得an＝2(1＋2＋…＋n－1)－(n－1)m＋a1＝n2－n－nm＋m－m＝n2－(m＋1)n.∴通项公式an＝n2－(m＋1)n(n∈N*)．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)∵m为奇数，∴m＋12为整数.由题意，知a5是数列{an}中的最小项，∴m＋12＝5.∴m＝9.令f(n)＝bn＝n3－(m＋1)n2＝n3－10n2，则f′(n)＝3n2－20n.由f′(n)0，得n203(n∈N*)．课时作业新课标版·数学（理）高考调研即为n203(n∈N*)时，f(n)单调递增，即bn＋1bn成立.∴n的取值范围是n≥7，且n∈N*.探究3本题把数列、导数、解析几何等知识巧妙地融合在一起，具有较强的综合性，在解决数列知识与其他章节知识的综合题时，要注意思维角度与解题途径的选择，提高数字变形转换、推理等综合能力．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题3已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn＋1,0)(n∈N*)，其中x1为正实数．(1)用xn表示xn＋1；(2)若x1＝4，记an＝lgxn＋2xn－2，证明数列{an}成等比数列，并求数列{an}的通项公式．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)∵f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))处的切线方程是y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，即y－(x2n－4)＝2xn(x－xn)．令y＝0，得－(x2n－4)＝2xn(xn＋1－xn)．得x2n＋4＝2xn·xn＋1，而xn≠0，∴xn＋1＝xn2＋2xn.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)由xn＋1＝xn2＋2xn，知xn＋1＋2＝xn2＋2xn＋2＝xn＋222xn.同理，xn＋1－2＝xn－222xn，故xn＋1＋2xn＋1－2＝(xn＋2xn－2)2.从而lgxn＋1＋2xn＋1－2＝2lgxn＋2xn－2，即an＋1＝2an，故{an}是等比数列．an＝a1·2n－1＝lgx1＋2x1－2·2n－1＝2n－1lg3.∴an＝2n－1·lg3.课时作业新课标版·数学（理）高考调研例4为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车40辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)设an、bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．所以数列{an}的前n项和Sn＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．课时作业新课标版·数学（理）高考调研数列{bn}的前n项和Tn＝400n＋nn－12a.所以经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)＝Sn＋Tn＝256[(32)n－1]＋400n＋nn－12a.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)若用7年的时间完成全部更换，则S(7)≥10000，即256×[(32)7－1]＋400×7＋7×62a≥10000，即21a≥3082，所以a≥308221.又a∈N*，所以a的最小值为147.课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究4现实生活中数列问题的模型极为广泛，如物群的生长和消亡，人们生活收入与支出等解决此类问题的途径有两种：一是逐项列举前几项，寻求规律，满足