【创新设计】2014年高考数学(理)二轮复习课件 简易通 常考问题7三角恒等变换与解三角形

知识与方法热点与突破审题与答题常考问题7三角恒等变换与解三角形知识与方法热点与突破审题与答题[真题感悟][考题分析]知识与方法热点与突破审题与答题1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.知识与方法热点与突破审题与答题3．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.知识与方法热点与突破审题与答题4．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.知识与方法热点与突破审题与答题5．三角形面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝α－β2－α2－β等．知识与方法热点与突破审题与答题7．解三角形的四种类型及求解方法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果．知识与方法热点与突破审题与答题热点与突破热点一三角变换及应用【例1】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．知识与方法热点与突破审题与答题解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.知识与方法热点与突破审题与答题(2)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.∵tanα＝130，∴0απ2，∴02απ.知识与方法热点与突破审题与答题又tan2α＝2tanα1－tan2α＝340，∴02aπ2.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，∴－π2α－β0.∴2α－β＝－3π4.[规律方法](1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．知识与方法热点与突破审题与答题【训练1】(2013·广东卷)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求f－π6的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.解(1)f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝1.知识与方法热点与突破审题与答题(2)f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝35，θ∈3π2，2π，∴sinθ＝－45，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，cos2θ＝2cos2θ－1＝－725，∴f2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725＋2425＝1725.知识与方法热点与突破审题与答题热点二正、余弦定理的应用【例2】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．知识与方法热点与突破审题与答题解(1)由cosA＝1213，且0Aπ，得sinA＝1－12132＝513.又S△ABC＝12bcsinA＝30，所以bc＝156，所以AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.知识与方法热点与突破审题与答题(2)由(1)知bc＝156，又cosA＝1213，c－b＝1，在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×1－1213＝25，所以a＝5知识与方法热点与突破审题与答题[规律方法]求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求AB→·AC→，需要求出bc，由三角形的面积及cosA，可求出sinA，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．知识与方法热点与突破审题与答题【训练2】(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解(1)由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－42ac＝79，即a2＋c2－4＝149ac.∴(a＋c)2－2ac－4＝149ac，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，得a＝c＝3.知识与方法热点与突破审题与答题(2)在△ABC中，cosB＝79，∴sinB＝1－cos2B＝1－792＝429.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝3×4292＝223.又∵a＝c，∴A＝C，∴0Aπ2，∴cosA＝1－sin2A＝13，∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝223×79－13×429＝10227.知识与方法热点与突破审题与答题热点三正、余弦定理的实际应用【例3】如图，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处．两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B，D两处相距42km，渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？知识与方法热点与突破审题与答题知识与方法热点与突破审题与答题解设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30km，BD＝42km，∠BAD＝60°，由正弦定理，得ADsinα＝BDsin∠BAD，sinα＝ADBDsin∠BAD＝3042sin60°＝5314.又ADBD，所以0°α60°，cosα＝1－sin2α＝1114，cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－17.在△BDC中，由余弦定理，得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BD·cos∠BDC＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3844，所以BC＝62(km)．答：渔政船乙要航行62km才能到渔船丙所在位置C处实施营救．知识与方法热点与突破审题与答题[规律方法]解决实际问题的步骤是：(1)准确理解题意，分清已知与所求．(2)根据题意，画出示意图，并标出条件．(3)将所求问题归结到一个或几个相关联三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，得出正确答案．知识与方法热点与突破审题与答题【训练3】在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°θ45°)且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．知识与方法热点与突破审题与答题解(1)如图1，在△ABC中，AB＝402海里，AC＝1013海里，∠BAC＝θ，sinθ＝2626.由于0°θ45°，所以cosθ＝1－26262＝52626.由余弦定理得BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ＝105(海里)所以该船的行驶速度为10523＝155(海里/时)．知识与方法热点与突破审题与答题(2)如图2，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，设BC的延长线与x轴的交点为D.由题意得，x1＝y1＝22AB＝40，图1图2知识与方法热点与突破审题与答题x2＝ACcos∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30.y2＝ACsin∠CAD＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B，C的直线l的斜率为k＝2，故直线l的方程为y＝2x－40.又点E(0，－55)到直线l的距离为d＝|0＋55－40|1＋4＝357.所以船会进入警戒水域．知识与方法热点与突破审题与答题审题示例(三)化解三角形与其他知识的交汇性问题知识与方法热点与突破审题与答题解(1)法一由已知，得A＋C＝2B，又A＋B＋C＝π，所以B＝π3，A＋C＝2π3，由sinC＝2sinA得sin2π3－A＝2sinA，32cosA＋12sinA＝2sinA，所以tanA＝33，因为0A2π3，所以A＝π6，C＝π2.法二由已知，得A＋C＝2B，又A＋B＋C＝π，所以B＝π3，又由sinC＝2sinA，得c＝2a，所以b2＝a2＋4a2－2a·2acosπ3＝3a2，c2＝a2＋b2，即△ABC为直角三角形，所以C＝π2，A＝2π3－π2＝π6.知识与方法热点与突破审题与答题(2)an＝2n|cosnC|＝2n|cosnπ2|＝0，n为奇数，2n，n为偶数，所以S2k＋1＝S2k＝0＋22＋0＋24＋…＋0＋22k＝41－22k1－4＝22k＋2－43，k∈N*.由22k＋2－43＝340，得22k＋2＝1024，所以k＝4.所以n＝8或n＝9.方法点评本题亮点在于以等差数列为载体，将数列内容与解三角形相结合，其求解策略是：三角形中的三角恒等变换是关于三角形的内角的三角函数之间的恒等变换，三角形内角和为π在其中起关键作用，用好这个关系是破解难点的重要环节．知识与方