视频接口类型资料

1高二、数列等差数列知识点及例题一、数列1、数列练习题1．已知数列na，1()(2)nanNnn，那么1120是这个数列的第（）项.A.9B.10C.11D.122．已知数列na，22103nann，它的最小项是（）A.第一项B.第二项C.第三项D.第二项或第三项3．已知数列na，13a，26a，且21nnnaaa，则数列的第五项为（）A.6B.3C.12D.62、由na与nS的关系求na由nS求na时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。例1．(14分)已知数列的通项公式123nann，求前n项的和。例2.(14分)（1）已知nnSn22，求na；（2）已知132nnSn，求na变式1．(16分)数列na为正项数列且2)1(4nnaS，求通项na。变式2.已知数列的通项公式123nann，求前n项的和。典型※例题解析※〖例〗根据下列条件，确定数列na的通项公式。思路解析：（1）可用构造等比数列法求解；2（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）注：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由1a和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想na的方法，以及累加na=（na-1na）+（1na-2na）+……+（2a-1a）+1a；累乘：na=121121nnnnaaaaaaa等方法。二、等差数列及其前n项和3（一）等差数列的判定※相关链接※1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3则a10为………………………………（）A、-600B、-120C、60D、-609.在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n=。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列{na}的通项公式为n的一次函数，即na=An+B,则{na}是等差数列；（2）前n项和法：若数列{na}的前n项和nS是2nSAnBn的形式（A，B是常数），则{na}是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。※例题解析※〖例〗已知数列{na}的前n项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSna（1）求证：{1nS}是等差数列；（2）求na的表达式。思路解析：（1）1120nnnnSSSS1nS与11nS的关系结论；（2）由1nS的关系式nS的关系式na解答：（1）等式两边同除以1nnSS得11nS-1nS+2=0，即1nS-11nS=2（n≥2）.∴{1nS}是以11S=11a=2为首项，以2为公差的等差数列。4（2）由（1）知1nS=11S+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴nS=12n,当n≥2时，na=2nS·1nS=12(1)nn。又∵112a，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)nnannn。（二）等差数列的基本运算※相关链接※1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d及前n项和公式11()(1)22nnnaannSnad，共涉及五个量1a，na，d,n,nS,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为11(1)222nSdddnaann，故数列{nSn}是等差数列。※例题解析※〖例〗已知数列{nx}的首项1x=3，通项2(,,)nnxpnqnNpq为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,pq的值；（2）数列{nx}的前n项和nS的公式。思路解析：（1）由1x=3与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,pq；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由1x=3得23pq……………………………………①又454515424,25,2xpqxpqxxx且，得5532528pqpq…………………②由①②联立得1,1pq。（2）由（1）得2nnnx，5（三）等差数列的性质※相关链接※1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。2、等差数列的简单性质：已知数列{na}是等差数列，nS是其前n项和。（1）若m+n=p+q,则mnpqaaaa,特别：若m+n=2p，则2mnpaaa。（2）23,,,,mmkmkmkaaaa仍是等差数列，公差为kd;（3）数列232,,,mmmmmSSSSSL--也是等差数列；（4）1(21)nnSna；（5）若n为偶数，则2nSSd偶奇；若n为奇数，则SSa偶奇中（中间项）；（6）数列{}{}{},,nnnncacapaqb++g也是等差数列，其中cpq、、均为常数，是{}nb等差数列。典型例题1．等差数列na中,若100,252nnSS，则nS3＝________；2252.（2009福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若714S，则35aa的值为（）A．2B．4C．7D．8答案B3.（2009厦门一中文）在等差数列na中，284aa,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D9答案A4.（2009长沙一中期末）各项不为零．．．的等差数列}{na中，02211273aaa，则7a的值为（）6A．0B．4C．04或D．2答案B5、（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=答案246、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()(A)9(B)10(C)11(D)127、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()(A)130(B)170(C)210(D)1608、等差数列{an}的公差为21，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+a99=()(A)60(B)80(C)72.5(D)其它的值9.(2007湖北)已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．5答案D10．在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_______．11.若两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且满足733nnSnTn，则88ab.12．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为（）（A）97（B）78（C）2019（D）8713已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。14．已知数列{an}的通项公式为an=nn11且Sn=1101,则n的值为（）（A）98（B）99（C）100（D）10115．在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式是项数n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式；(2)88是否是数列{an}中的项.716．（2010北京）（16）（本小题共13分）已知||na为等差数列，且36a，60a。（Ⅰ）求||na的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||nb满足18b，2123baaa，求||nb的前n项和公式解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差d。因为366,0aa所以112650adad解得110,2ad所以10(1)2212nann（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q因为212324,8baaab所以824q即q=3所以{}nb的前n项和公式为1(1)4(13)1nnnbqSq3、等差数列的最值：若{}na是等差数列，求前n项和的最值时，（1）若a10,d0,且满足100nnaa，前n项和nS最大；（2）若a10,d0，且满足100nnaa，前n项和nS最小；（3）除上面方法外，还可将{}na的前n项和的最值问题看作nS关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。※例题解析※〖例1〗在等差数列{}na中，161718936aaaa，其前n项和为nS。（1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n的值；8（2）求12nnTaaa。思路解析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列{}na的首项为1a，公差为d，∵1791617181717336,12,3,179aaaaaaad91(9)363,360nnaandnan，令13630,:2021,3600nnannan得202120[60(3)]6302SS，∴当n=20或21时，nS最小且最小值为-630.（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。∴2(60363)312321.222nnnnnSnn当时，T2212122(60363)312321221260.2223123(21)22.31231260(21)22nnnnnnTSSSnnnnnTnnn当时，综上，变式1、已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。〖例2〗已知数列{}na是等差数列。（1）若,(),;mnmnanammna求（2）若,(),.mnmnSnSmmnS求思路解析：（1）由通项公式或前n项和公式得1a和d的关系，通过解方程组求得1a和d，进而求得mna和mnS。（2）利用等差数列数列的性质可使问题简化。解答：设首项为1a，公差为d，9（1）方法一：由,mnanam，得11(1),(1)amdnandm解得11,1.amnd1(1)1(1)0.mnaamndmnmn方法二：由,mnanam，1nmdmn∴()(1)0.mnmaamnmdnn（2）方法一：由已知可得11(1)2,(1)2nnmnadmmnmad解得221.2()nmmnmnamnmndmn1()(1)()()2mnmnmnSmnadmn方法二：∵{}na是等差数列，∴可设2.nSAnBn则22AmBnnAnBmm①②①-②得222()(),,()1,()()().mnAmnBmnnmmnAmnBSAmnBmnmn方法三：=∴注：（1）灵活运用性质，求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；（2）在应用性质：若则时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识。1．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。2．成等差数列的四