高考数学2016版二轮总复习：数学思想方法试题(含答案)

2016版高考数学大二轮总复习增分策略数学思想方法试题高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．(一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．例1(1)(2014·湖南)若0x1x21，则()A．e2x－e1xlnx2－lnx1B．e1x－e2xlnx2－lnx1C．x2e1xx1e2xD．x2e1xx1e2x(2)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是____．思维升华函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1(1)(2015·淄博实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf′(x)，则()A．2f(1)f(2)B．2f(1)f(2)C．2f(1)＝f(2)D．f(1)＝f(2)(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，－πφπ)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是()A．y＝2sin(2x＋π3)B．y＝2sin(2x＋2π3)C．y＝2sin(x2－π3)D．y＝2sin(2x－π3)(二)数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．例2(1)(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A．(0，12)B．(12，1)C．(1,2)D．(2，＋∞)(2)若实数x、y满足x－y＋1≤0，x0，y≤2，则yx的最小值是____．思维升华数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．(3)构建解析几何模型求最值或范围．(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)0的x的取值范围是___________________________________．(2)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．(三)分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3(1)(2015·山东)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0,1]C.23，＋∞D．[1,＋∞)(2)设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，则|PF1||PF2|的值为________．思维升华分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．跟踪演练3(1)(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC等于()A．5B.5C．2D．1(2)(2014·广东)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A．60B．90C．120D．130(四)转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．例4(1)定义运算：(ab)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于x的不等式(ab)⊗x0的解集为{x|1x2}，则关于x的不等式(ba)⊗x0的解集为()A．(1,2)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.－23，1D.－∞，－23∪(1，＋∞)(2)已知函数f(x)＝lnx－14x＋34x－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈(0,2)，任意的x2∈[1,2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是()A．(－∞，142]B．(1，＋∞)C．(1，142)D．[1，142]思维升华转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解．(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．跟踪演练4(1)(2014·安徽)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6等于()A.12B.32C．0D．－12(2)已知函数f(x)＝axax＋a(a0且a≠1)，则f1100＋f2100＋…＋f99100的值为________．提醒：完成作业专题八二轮专题强化练专题八数学思想方法A组专题通关1．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥02．已知函数f(x)＝log2x＋，x3，2x－3＋1，x≤3满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为()A．log23B.1716C.32D．13．已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))等于()A．－5B．－1C．3D．44．(2015·重庆月考)方程log12(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为()A．2B．1C.32D.125．(2015·广东实验中学阶段考试)已知0ab1，则()A.1b1aB．(12)a(12)bC．(lga)2(lgb)2D.1lga1lgb6．(2015·天津)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，x－2，x＞2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.74，＋∞B.－∞，74C.0，74D.74，27．已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A．－12B.12C．0D．－12或08．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或129．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.45πB.34πC．(6－25)πD.54π10．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A．1B.3C．2D．311．已知函数f(x)＝|lgx|，0x≤10，－12x＋6，x10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是__________．12．(2015·湖南)已知函数f(x)＝x3，x≤a，x2，x＞a，若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是____________________．13．(2014·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)B组能力提高14．(2015·黄冈中学期中)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)1－f(x)，f(0)＝6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(3，＋∞)15．(2015·广东实验中学阶段考试)已知关于x的方程|cosx|x＝k在(0，＋∞)有且仅有两根，记为α，β(αβ)，则下列的四个命题正确的是()A．sin2α＝2αcos2αB．cos2α＝2αsin2αC．sin2β＝－2βsin2βD．cos2β＝－2βsin2β16．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．17．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x1＋x.(1)求f(x)的极小值；(2)若a，b0，求证：lna－lnb≥1－ba.学生用书答案精析专题八数学思想方法例1(1)C(2)38π解析(1)设f(x)＝ex－lnx(0x1)，则f′(x)＝ex－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex