高考数学一轮单元复习：柯西不等式和排序不等式

柯西不等式与排序不等式知识梳理1．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则有|α·β|≤|α||β|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使得时，等号成立．3．二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2∈R，则x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.ad＝bcβα＝kβ若设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当且仅当P1，P2与原点在同一直线上，并且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在原点O两旁时，等号成立．4．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当或存在一个整数k，使得时等号成立．5．排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么当且仅当或时，反序和等于顺序和．bi＝0(i＝1,2，…，n)ai＝kbi(i＝1,2，…，n)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbna1＝a2＝…＝anb1＝b2＝…＝bn要点探究►探究点1用柯西不等式求最值例1函数y＝3x－2＋46－x的最大值是。【思路】这个函数的解析式是两部分的和，要把它化为ac＋bd的形式．【答案】10【解析】y＝3x－2＋46－x≤32＋42·(x－2)＋(6－x)＝10.当且仅当x－23＝6－x4时等号成立，即x＝8625时函数取最大值10.【点评】本题是柯西不等式的简单应用．柯西不等式与基本不等式在形式上有相似也有不同，在应用时应根据式子的特点，选择恰当的解题途径．正确地应用柯西不等式，特别要注意平方运算，关键在于正确使用柯西不等式构造常数，即最值，并要注意等号成立的条件．下面设计一变式训练．变式题已知实数m，n0.(1)求证：a2m＋b2n≥(a＋b)2m＋n；(2)已知函数y＝2x＋91－2x，x∈0，12，求它的最小值．【思路】构造符合柯西不等式的平方和．【解答】(1)因为m，n0，利用柯西不等式，得(m＋n)·a2m＋b2n≥(a＋b)2，所以a2m＋b2n≥(a＋b)2m＋n.(2)由(1)，函数y＝2x＋91－2x＝222x＋321－2x≥(2＋3)22x＋(1－2x)＝25，所以函数y＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值为25，当且仅当x＝15时取得．►探究点2用柯西不等式证明不等式例2设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝m，求证：1a1＋1a2＋1a3≥9m.【思路】利用常数“1”的代换，结合三元的均值不等式或柯西不等式求解．【解答】证法1：由已知条件和均值不等式有：1a1＋1a2＋1a3＝1m(a1＋a2＋a3)1a1＋1a2＋1a3＝1m3＋a1a2＋a2a1＋a2a3＋a3a2＋a1a3＋a3a1≥1m(3＋2＋2＋2)＝9m，当且仅当a1＝a2＝a3＝m3时，等号成立．证法2：由已知条件和柯西不等式有：1a1＋1a2＋1a3＝1m(a1＋a2＋a3)1a1＋1a2＋1a3≥1ma1·1a1＋a2·1a2＋a3·1a32＝9m，当且仅当a1＝a2＝a3＝m3时，等号成立．【点评】证明条件不等式的关键是如何恰当地利用好条件．本题注意到要证的不等式左边各项与已知等式各项是倒数关系，故可利用三元均值不等式证明；同样注意到要证的不等式左边各项与已知等式各项都可看成是平方和的形式，因此想到利用柯西不等式变形，建立a1，a2，a3之间的关系．利用柯西不等式证明不等式，关键是构造两个适当的数组，这两个数组的选取要结合题目条件和要解决的问题，“凑出”符合柯西不等式的形式，本题证法2中，为了使用柯西不等式，把不等式左边进行变形，构造平方和的积的形式而证得．变式题设P是△ABC内的一点，x，y，z是P到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明：x＋y＋z≤12Ra2＋b2＋c2.【思路】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式证明的先决条件.对需应用柯西不等式进行证明的问题，必须结合目标代数式或不等式，观察分析，配凑相关的代数式.【解答】由柯西不等式得，x＋y＋z＝ax1a＋by1b＋cz1c≤ax＋by＋cz·1a＋1b＋1c.记S为△ABC的面积，则ax＋by＋cz＝2S＝2·abc4R＝abc2R，x＋y＋z≤abc2Rab＋bc＋caabc＝12Rab＋bc＋ca≤12R·a2＋b2＋c2，故不等式成立．例3设a，b，c∈R＋，求证：ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≥32.【思路】在证明不等式的过程中，往往需将“n个互不相等的正整数”进行排序，这是证明中常常使用的一个技巧．本题的难点在于如何构造新的排列，这需要充分利用问题的条件，挖掘条件后的内涵．►探究点3排序不等式的应用【解答】不妨设a≥b≥c＞0，①则0＜b＋c≤c＋a≤a＋b，从而有1b＋c≥1c＋a≥1a＋b0.②对①②应用排序原理，得ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥aa＋b＋cc＋a＋bb＋c，③ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥ba＋b＋ac＋a＋cb＋c.④③＋④，得2ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥aa＋b＋ba＋b＋cc＋a＋ac＋a＋bb＋c＋cb＋c＝3.∴ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≥32(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．【点评】本题是排序不等式的简单应用，应用排序不等式需要正确使用“反序和≤乱序和≤顺序和”，把问题化归为反序和、乱序和、顺序和问题求解．下面设计一变式训练．变式题设a、b、c都是正数，证明：a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥a＋b＋c2.【思路】在本题中对a、b、c进行排序后，观察所证的不等式，可以构造新的排序ab＋c，ba＋c，ca＋b，从而解决问题．【解答】不妨设a≥b≥c＞0，①则a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，即1b＋c≥1a＋c≥1a＋b＞0.从而有ab＋c≥ba＋c≥ca＋b＞0.②对①②应用排序原理，得a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥abb＋c＋bcc＋a＋caa＋b，③a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥acb＋c＋bac＋a＋cba＋b.④③＋④，得2a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥abb＋c＋acb＋c＋bcc＋a＋abc＋a＋caa＋b＋cba＋b＝a＋b＋c，∴a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥a＋b＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．►探究点4含参变量的柯西不等式的应用例4设abc，n∈N，且1a－b＋1b－c＋nc－a≥0恒成立，则n的最大值是________．【思路】分离变量，再考虑如何运用柯西不等式．【答案】4【解析】由1a－b＋1b－c＋nc－a≥0得1a－b＋1b－c≥na－c，即(a－c)·1a－b＋1b－c≥n恒成立．∵(a－c)·1a－b＋1b－c＝(a－b＋b－c)·1a－b＋1b－c≥4，∴n≤4.【点评】含参变量的柯西不等式的恒成立问题，同一般不等式的恒成立问题思路一样，都是分离变量后，求不等式一边的代数式的最大值或最小值．本题就是凑出符合柯西不等式的平方形式，利用柯西不等式求最值．下面设计一变式训练．变式题已知a1、a2、…、an∈R＋，不等式[na1＋(n－1)a2＋…＋an]1a1＋1a1＋a2＋…＋1a1＋a2＋…＋an≥k恒成立，则k的最大值是________．【思路】把所证的不等式左边变形成符合柯西不等式的形式，构造两组柯西数组．【答案】n2【解析】∵na1＋(n－1)a2＋…＋an＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an)，∴[na1＋(n－1)a2＋…＋an]1a1＋1a1＋a2＋…＋1a1＋a2＋…＋an≥a1·1a1＋a1＋a2·1a1＋a2＋…＋a1＋a2＋…＋an·1a1＋a2＋…＋an2＝n2.∴要使不等式恒成立，则k≤n2.故k的最大值为n2.规律总结利用柯西不等式求最值，通常设法使不等式一边为常数，并寻找不等式取等号的条件．能否成功运用柯西不等式，关键是对照柯西不等式的标准形式构造出两组适合的数式．对需应用柯西不等式进行求解的问题，必须结合目标代数式或不等式，观察分析，配凑相关的代数式．