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第三章指数函数和对数函数理解教材新知§4对数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.1对数及其运算知识点一知识点二知识点三一个细胞经过一次分裂变成2个细胞,经过两次分裂变成4个,……问题1:经过4次分裂变成了多少个细胞?提示:24=16.问题2:经过多少次分裂后,细胞的个数是512?提示:9次.问题3:经过x次分裂后,细胞个数是y,则y=2x.如何用y表示x?提示:x=log2y.1.对数的定义如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N,即,那么数b叫作以a为底N的对数.记作.其中,a的范围是,N的范围是,b的取值范围是.ab=NlogaN=ba0且a≠1N0b∈R2.几种常见对数对数形式特点记法一般对数以a(a>0且a≠1)为底的对数自然对数以为底的对数常用对数以为底的对数e10logaNlnNlgN根据对数的定义:ab=N化成对数式为b=logaN.问题1:计算logaa和loga1的值;提示:logaa=1,loga1=0.问题2:零和负数有对数吗?为什么?提示:没有,因为N=ab0.指数式与对数式的互化ab=N⇔对数恒等式alogaN=对数的性质①底的对数等于,即logaa=②1的对数等于,即loga1=③零和负数没有对数b=logaNN11零0对数运算可以看成指数运算的逆运算.参照指数的运算性质,对数的运算性质有哪些呢?问题1:计算下列各组对数值:(1)log28,log216,log2(8×16);(2)log39,log381,log3;(3)lg1000,3lg10.提示:(1)3,4,7.(2)2,4,-2.(3)3,3.981问题2:根据上述计算,可得出的关系式是什么?提示:(1)log28+log216=log2(8×16);(2)log39-log381=log3981;(3)lg103=3lg10.1.如果a0,a≠1,M0,N0,则(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).MN1.对数式logaN=b可看作一种记号,表示关于b的方程ab=N(a0,a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a0,a≠1),幂为N,求幂指数的运算,因此,对数式logaN=b又可看作幂运算的逆运算.2.在对数的运算法则中,各个字母都有一定的取值范围(M0,N0,a0,a≠1),只有当式子中所有的对数符号都有意义时,等式才成立.[例1]将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)2-7=1128;(2)3a=27;(3)10-1=0.1;(4)log32=-5;(5)lg0.001=-3.[思路点拨]利用对数与指数间的互化关系:logaN=b⇔ab=N.12[精解详析](1)log21128=-7;(2)log327=a;(3)lg0.1=-1;(4)(12)-5=32;(5)10-3=0.001.[一点通]利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系,其中两式中的底数是相同的.1.下列各组指数式与对数式互化不.正确的是()A.23=8与log28=3B.27=13与log2713=-13C.(-2)5=-32与log(-2)(-32)=5D.100=1与lg1=0解析:对数式logaN中,要求底数a0,且a≠1,真数N0.答案:C-132.将下列指数式与对数式互化:(1)log216=4;(2)log27=-3;(3)log3x=6;(4)43=64;(5)3-2=19;(6)(14)-2=16.解:(1)24=16;(2)(13)-3=27;(3)(3)6=x;(4)log464=3;(5)log319=-2;(6)log16=-2.1413[例2]计算:(1)log2(log55);(2)log(2-1)13+22;(3)71-log75;(4)alogab·logbc(a,b为不等于1的正数,c0).[思路点拨]解答本题可利用对数的性质及对数恒等式alogaN=N来化简求值.[精解详析](1)原式=log21=0;(2)原式=log(2-1)12+12=log(2-1)12+1=log(2-1)(2-1)=1;(3)原式=7÷7log75=7÷5=75;(4)原式=(alogab)logbc=blogbc=c.[一点通]1.对数的基本性质为:loga1=0,logaa=1(a0,且a≠1).2.对数恒等式alogab=b(a0,且a≠1,b0).以上各式对符合题意的a,b均成立.3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=10;④若e=lnx,则x=e2,其中正确的是()A.①③B.②④C.①②D.③④解析:lg(lg10)=lg1=0;ln(lne)=ln1=0,故①、②正确;若10=lgx,则x=1010,③错误;若e=lnx,则x=ee,故④错误.答案:C4.设a=log310,b=log37,则3a-b=()A.1049B.710C.107D.4910解析:3a-b=3a3b=33log10log733=107.答案:C5.若log3[log4(log5a)]=log4[log3(log5b)]=0,则ab=_______.解析:由log3[log4(log5a)]=0知log4(log5a)=1,∴log5a=4,即a=54,同理可得b=53,∴ab=5453=5.答案:5[例3]计算下列各式的值:(1)log2748+log212-12log242;(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2.[思路点拨]利用对数的运算性质进行计算[精解详析](1)原式=log27×1248×42=log212=-12;(2)原式=2lg5+2lg2+lg5·(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.[一点通]对于同底的对数的化简,常用方法是:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).6.若lgx-lgy=a,则lg(x2)3-lg(y2)3=()A.3aB.32aC.aD.a2解析:lg(x2)3-lg(y2)3=3(lgx-lg2)-3(lgy-lg2)=3(lgx-lgy)=3a.答案:A7.2log510+log50.25=()A.0B.1C.2D.4解析:2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.答案:C8.求下列各式的值:(1)2log32-log3329+log38-5log53;(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-1;(2)原式=[(log66-log63)2+log62·log6(2·32)]÷log64=[(log63)2+log62(log62+log632)]÷2log62=[(log62)2+(log62)2+2·log62·log63]÷2log62=loh62+log63=log6(2·3)=1.1.在指数式与对数式互化中,并非任何指数式都可直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log-39=2,只有符合a0,a≠1,且N0时才有ax=N⇔x=logaN.2.利用对数的运算性质解决问题的一般思路:①把复杂的真数化简;②正用公式:将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简;③逆用公式:将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.点击下列图片进入应用创新演练
本文标题:2013高一数学必修1教师用书:第三章 §4 对数 4.1 对数及其运算(北师大版)
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