面积矩与形心位置

§6–1面积矩与形心位置§6–2惯性矩、惯性积、极惯性矩§6–3惯性矩和惯性积的平行移轴定理第六章截面的几何性质§6–4惯性矩和惯性积的转轴定理*截面的主惯性轴和主惯性矩§6-1面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：（于力矩类似）是面积与它到轴的距离之积。PnPnWMGIMANmaxmaxmaxmax;;ydAdSxxdAdSyAAyyAAxxxdAdSSydAdSS二、形心：（等厚均质板的质心与形心重合。）)(AAyyAAxxiiii正负面积法公式累加式:iixiiyyAyASxAxAS¯y¯xASAydAAtdAytmydm¯ASAxdAAtdAxtmxdm¯xAAmyAAmrrrr:质心等厚均质等厚均质xy等于形心坐标212121AAAxAxAAxxii例I-1-1是确定下图的形心。xy解：组合图形，用正负面积法解之。1、用正面积法求解，图形分割及坐标如图（a）3.2010801101011010357.341080110101101060yC1（0，0）C2（-35，60）图（a）C2C1C12、用负面积法求解，图形分割及坐标如图（b）3.201107080120)11070(5图（b）负面积C2xyC1C1（0，0）C2（5，5）212121AAAxAxAAxxii§6-2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：（与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方之积。AyAxdAxIdAyI22二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。yxAPIIdAI2r三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。AxyxydAI！如果x或y是对称轴，则，Ixy=0§6-3惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）ccybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0cxcyASAbIIxcx2\abxcycCAxdAyI2AcdAby2)(AccdAbbyy)2(22AbbSIxcxc22AbIIxcx2\AaIIycy2abAIIxcycxyAbaIIPcP2)(注意!C点必须为形心例6-3-1求图示圆对其切线AB的惯性矩.解：求解此题有两种方法：一是安定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyxd6454644442dddAdIIxABxyxPIIIdI2324圆xyO§6-4惯性矩和惯性积的转轴定理*截面的主惯性轴和主惯性矩cosysinxysinycosxx11一、惯性矩和惯性积的转轴定理x1y1y1x1)2sin2cos2(21xyyxyxxIIIIIIyxyxIIII11)2sin2cos2(21xyyxyxyIIIIII)2cos2sin2(11xyyxyxIIII二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到=0时；恰好有02220000)cosIsinII(Ixyyxyx与0对应的旋转轴x0y0称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。ycxcxcycIIItg220222200xyyxyxyxI)II(IIII主惯性矩：2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩ycxcxcycIIItg22022)2(200xcycycxcycxcycxcIIIIIII±形心主惯性矩：3、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、计算面积和面积矩、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iyc，Ixc，Ixcyc，、求形心主轴方向——0、求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiixiiy222200xcycycxcycxcycxcI)II(IIIIycxcxcycIIItg220例6-4-1在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)xyO解：、建立坐标系如图。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iyc，Ixc，Ixcycd.ddddAAyyAAAxxiiii1770434200222xcyc])yd.(AI[yAIIIIxxxcxcxc21250圆圆矩矩圆矩422422368501770504641770312251d.])d.d.(dd[)d.(d)d(d.x1443513.064122)5.1(ddddIIIxcxcyc圆矩便是形心主惯性矩轴便是形心主轴ycxccxcycIIyI、cx0\