2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷)

试卷第1页，总5页2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）评卷人得分一、选择题（题型注释）1．复数i2i（）A．12iB．12iC．12iD．12i2．若x，y满足010xyxyx≤，≤，≥，则2zxy的最大值为（）A．0B．1C．32D．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）开始x=1，y=1，k=0s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1k≥3输出(x，y)结束是否A．22，B．40，C．44，D．08，4．设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）试卷第2页，总5页正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A．25B．45C．225D．56．设na是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若120aa，则230aaB．若130aa，则120aaC．若120aa，则213aaaD．若10a，则21230aaaa7．如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式2log1fxx≥的解集是（）ABOxy-122CA．|10xx≤B．|11xx≤≤C．|11xx≤D．|12xx≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多试卷第3页，总5页C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油试卷第4页，总5页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）9．在52x的展开式中，3x的系数为．（用数字作答）10．已知双曲线22210xyaa的一条渐近线为30xy，则a．11．在极坐标系中，点π23‚到直线cos3sin6的距离为．12．在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．13．在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x；y．14．设函数21421.xaxfxxaxax‚‚‚≥①若1a，则fx的最小值为；②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是．评卷人得分三、解答题（题型注释）15．（本小题13分）已知函数2()2sincos2sin222xxxfx．（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()fx在区间[π0]，上的最小值．16．（本小题13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC∥，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点．试卷第5页，总5页OFECBA（Ⅰ）求证：AOBE；（Ⅱ）求二面角FAEB的余弦值；（Ⅲ）若BE平面AOC，求a的值．18．（本小题13分）已知函数1ln1xfxx．（Ⅰ）求曲线yfx在点00f，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xfxx；（Ⅲ）设实数k使得33xfxkx对01x，恒成立，求k的最大值．19．（本小题14分）已知椭圆C：222210xyabab的离心率为22，点01P，和点Amn，0m≠都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题13分）已知数列na满足：*1aN，136a≤，且121823618nnnnnaaaaa，≤，，12n，，…．记集合*|nManN．（Ⅰ）若16a，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总10页参考答案1．A【解析】根据复数乘法运算计算得：2(2)212iiiii，故选A.考点：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i.2．D【解析】如图，先画出可行域，由于2zxy，则1122yxz，令0Z，作直线12yx，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法3．B【解析】运行程序：1,1,0;110,112xykst，0,2xy，011k，因为13不满足，2,2st，2,2,2xyk，因为23不满足，4,0st，4,0,3xyk，因为33满足，输出(4,0)，故选B．考点：本题考点为程序框图，要求会准确运行程序4．B【解析】因为，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．若“m∥”，则平面、可能相交也可能平行，不能推出//，反过来若//，m，则有m∥，则“m∥”是“∥”的必要而不充分条件，故选B.考点：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.5．C【解析】根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有,PDABCDAB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1，PC=1，5,ABCPDS12222，12552PABS，ACBC本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总10页5，1512PACPBCSS52，三棱锥表面积表252S，故选C.考点：本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积，考查空间线线、线面的位置关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算.6．C【解析】先分析四个答案支，A举一反例1232,1,4aaa，120aa而230aa，A错误，B举同样反例1232,1,4aaa，130aa，而120aa，B错误，下面针对C进行研究，na是等差数列，若120aa，则10,a设公差为d，则0d，数列各项均为正，由于22215111()(2)aaaadaad22221111220aaddaadd，则2113aaa113aaa，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.7．C【解析】如图所示，把函数2logyx的图象向左平移一个单位得到2log(1)yx的图象1x时两图象相交，不等式的解为11x，用集合表示解集，故选C．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总10页考点：本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.8．D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选D.考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.9．40【解析】利用通项公式，5152rrrrTCx，令3r，得出3x的系数为325240C考点：本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.10．33【解析】双曲线22210xyaa的渐近线方程为1yxa，303xyyx，0a,则133,3aa考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.11．1【解析】先把点(2,)3极坐标化为直角坐标(1,3)，再把直线的极坐标方程cos3sin6化为直角坐标方程360xy，利用点到直线距离公式136113d.考点：本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离.12．1【解析】222sin22sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256考点：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总10页进行边化角、角化边.13．11,26【解析】特殊化，不妨设,4,3ACABABAC，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2AMCBN，1(2,),(4,0),2MNAB(0,3)AC，则1(2,)(4,0)(0,3)2xy，11142,3,,226xyxy.考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.14．(1)1，(2)112a或2a.【解析】①1a时，2114121.≥xxfxxxx‚‚‚，函数()fx在(,1)上为增函数，函数值大于1，在3[1,]2为减函数，在3[,)2为增函数，当32x时，()fx取得最小值为1；（2）①若函数()2xgxa在1x时与x轴有一个交点，则0a，并且当1x时，(1)2ga0，则02a，函数()4()(2)hxxaxa与x轴有一个交点，所以21且1aa112a；②若函数()2xgxa与x轴有无交点，则函数()4()(2)hxxaxa与x轴有两个交点，当0a时()gx与x轴有无交点，()4()(2)hxxaxa在1x与x轴有无交点，不合题意；当(1)20ha时，2a，()hx与x轴有两个交点，xa本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总10页和2xa，由于2a，两交点横坐标均满足1x；综上所述a的取值范围112a或2a.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.15．（Ⅰ）2；（Ⅱ）212．【解析】试题解析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()fxAxm