第三节 二阶常系数线性微分方程的解法

1第三节二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构二阶常系数线性微分方程的标准形式其中a,b是常数.(1))(xfbyyay0byyay(2)若0)(xf,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,若0)(xf,即方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。2二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程0)(yxPy(1)1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；3二阶常系数齐次线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；如果)(),(21xyxy是方程(2)的两个解,则)()(2211xyCxyCy也是(2)的解.常数如果)()(21xyxy(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理10byyay(2)4二、二阶常系数齐次线性方程的解法下面来寻找方程(2)的形如xye的特解.将xye代入方程(2),得0e)(2xba,而0ex,于是有代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).(3)02ba0byyay(2)5若0,则特征方程(3)有两个相异的实根22,1a,得到方程(2)的两个特解xy1e1,xy2e2,而Cxyxyx)(2121e)(/)(,记ba42,故它们线性无关,因此(2)的通解为xxCCy21ee21(3)02ba情形16若0,则特征方程(3)有两个相等的实根只得到方程(2)的一个特解xy1e1,设)(/12xuyy,即xxuy1e)(2,代入方程(2),并约去x1e,得因为1是方程02ba的二重根,故有0121ba,021a,0u,取特解xu,即得xxy1e2,于是(2)的通解为xxCCy1e)(21.情形2,22,1a2y,使12/yy常数.需要求另一个特解,0)()2(1211ubauau7若0,则特征方程(3)有一对共轭复根情形3i2,1可以证明,,cose1xyxxyxsine2是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的通解为)sincos(e21xCxCyx802ba0byyay小结特征根的情况通解的表达式21rr21rrir2,1实根实根复根xrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21)sincos(e21xCxCyx9解特征方程为故所求通解为求微分方程032yyy的通解.例1例2.052的通解求方程yyy解特征方程为0522解得,2121i，故所求通解为)2sin2cos(e21xCxCyx0322xxCCy321ee3,121特征根为10解特征方程为故通解为求微分方程0dd2dd22ststs满足初始条件2)0(,4)0(ss的特解.22C,所以所求特解为ttse)24(.例30122121特征根为ttCCse)(21,4)0(1Cs,e)(212ttCCCs,2)0(12CCs11对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1))(xfbyyay0byyay(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解..yYy定理2设)(xy是方程(1)的一个特解,)(xY是(2)的通解,那么方程(1)的通解为12问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论f(x)的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1))(xfbyyay0byyay(2).yYy)(xY是(2)的通解,那么方程(1)的通解为定理2设)(xy是方程(1)的一个特解,13其中r是一个实数,)(xPm是m次多项式.设xrxQye)(,其中)(xQ是多项式,代入方程)(xfbyyay,整理并约去xre,得)()()2(2xPQbarrQarQm(*)型、)(e)(1xPxfmxr则xrxrxQxQye)(e)()(xrxrxrxQxQxQye)(e)(2e)()(214即02barr,则可设)(xQ为次数与)(xPm次数相同的多项式:)()()2(2xPQbarrQarQm(*)情形1若r不是特征根,,)()(xQxQmxrmxQye)(即情形2而02ar,若r是特征方程的单根,即02barr,,)()(xQxxQm则令即xrmxxQye)(15)()()2(2xPQbarrQarQm(*)情形3若r是特征方程的二重根,即02barr,,)()(2xQxxQm则令即且02ar,xrmxQxye)(216综上讨论)(xQ不是特征根)(exPbyyaymxr设特解为，)(xQm是单特征根，)(xxQm是二重特征根，xrxQye)(其中，)(2xQxm)()()2(2xPQbarrQarQm(*)然后将y代入原方程，或根据恒等式(*)来确定)(xQ,从而得到特解y.，若)()(xPxfm可看成是0r的特殊情形。17解对应齐次方程通解特征方程0322特征根1321，,ee231xxCCY求微分方程1332xyyy的通解.因为0r不是特征根,故设特解BAxy,31,1BA,所以特解xy31,即原方程的通解为31ee321xCCyxx.例4代入原方程,得13)(32xBAxA18.e232的通解求方程xxyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232特征根，，2121.ee221xxCCY是单根，2代入方程，xBAxA22，，121BA，于是xxxy2e)121(原方程通解为.e)121(ee2221xxxxxCCy例5xBAxxy2e)(所以设得,e)(22xBxAxx19解对应齐次方程通解特征方程,0962特征根，32,1.e)(321xxCCY求微分方程xxyyy3e96的通解.因为3r是二重特征根,解得0,61BA,所以特解xxy33e61,从而方程的通解为xxxxCCy33321e61e)(.例6代入方程,得xBAxxy22e)(所以设特解为,e)(223xBxAx,26xBAx20解对应齐次方程通解特征方程,0962特征根，32,1.e)(321xxCCY求微分方程xxyyy3e96的通解.例6因为3r是二重特征根,注意：实际计算时，只要将23)(BxAxxQ代入)()()2(2xPQbarrQarQm现即,)()(xPxQm即得.26xBAx这样比代入原方程要简便得多。xBAxxy22e)(所以设特解为,e)(223xBxAx21解求微分方程xyyye44的通解,1）若2,则设特解为xAxy22e,其中为实数.代入原方程,得21A,即特解为xxy22e21,此时原方程的通解为xxxxCCy22221e21e)(；例7对应齐次方程通解特征方程,0442特征根，22,1.e)(221xxCCY,)(2AxxQ,)(xPQm12A222）若2,则设特解为xAye,代入原方程,得2)2(1A,即特解为xye)2(12,xyyye44.e)2(1e)(2221xxxCCy此时原方程的通解为23型、)sincos(e)(2xNxMxfxr可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:)sincos(exBxAxyxrk.1;0是特征根不是特征根irirk是待定系数，其中BA,24解求微分方程xyyy2sin1022的通解.因为2,0r,iir2不是特征根,故设特解为例8，xBxAy2sin2cos，xxBAxBA2sin102sin)24(2cos)42(所求通解为对应齐次方程通解特征方程,0222特征根，i12,1.)sincos(e21xCxCYx代入原方程,得1024042BABA.2sin2cos2)sincos(e21xxxCxCyx,12BA25解求微分方程xyy2sin104的通解.因为2,0r,iir2是特征根,故设特解为例9，)2sin2cos(xBxAxy，xxAxB2sin102sin42cos4所求通解为对应齐次方程通解特征方程,042特征根，i22,1.2sin2cos21xCxCY代入原方程,得10404AB.2cos252sin2cos21xxxCxCy,025BA26定理3(非齐次线性方程的叠加原理)设)(),(21xyxy分别是非齐次线性方程则)()(21xyxy为非齐次方程和的特解,)(1xfbyyay)(2xfbyyay)()(21xfxfbyyay的一个特解,27.2coscos的通解求xxyy，，，xCxCYirsincos01212，对于xxf3cos21)(1例10解xxxf2coscos)(，设xBxAy3sin3cos1，xxBxA3cos213sin83cos8代入得,0161BA，；xy3cos1611，xxcos213cos2128,cos21)(2xxf对于，xCxCYsincos21，对于xxf3cos21)(1解，xxxfcos213cos21)(；xy3cos1611，41,0BA，xxAxBcos21)sincos(2代入得，xxysin412原方程通解为.sin413cos161sincos21xxxxCxCy，设)sincos(2xBxAxy.2coscos的通解求xxyy例1029解)()()(xfyxqyxpy(A)中2211ycyc不是对应齐次方程的解,故(A)错；有三个线性无关的解)(1xy,)(2xy,)(3xy,则其通解是()(21,cc是任意常数).(A)32211yycyc3212211)()(Byccycyc(C)3212211)1(yccycyc(D)3212211)1(yccycyc(B)中)()()(3223113212211yycyycyccycyc例11是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；二阶非齐次线性微分方程30(C)中3212211)1(yccycyc(C)3212211)1(yccycyc(D)3212211)1(yccycyc3322311)()(yyycyyc,显然不是原方程的通解.(D)中3212211)1(yccycyc3322311)()(yyycyyc,其中31y