2018届高三数学(人教A版)一轮复习： 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例

上一页返回首页下一页高三一轮总复习第七节正弦定理、余弦定理应用举例[考纲传真]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线________时叫仰角，目标视线在水平视线时叫俯角．(如图3­7­1①)．①②图3­7­1上方下方上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3­7­1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．顺时针上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()上一页返回首页下一页高三一轮总复习(4)如图3­7­2，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．()图3­7­2[答案](1)×(2)×(3)√(4)√上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A．103nmileB.1063nmileC．52nmileD.56nmile上一页返回首页下一页高三一轮总复习D[如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴BCsin60°＝10sin45°，∴BC＝56.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B.北偏西15°C．北偏东10°D.北偏西10°上一页返回首页下一页高三一轮总复习B[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习4．如图3­7­3，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()图3­7­3A．1002mB.400mC．2003mD.500mD[设塔高为xm，则由已知可得BC＝xm，BD＝3xm，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习5．如图3­7­4，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．503mB．253mC．252mD．502m图3­7­4上一页返回首页下一页高三一轮总复习D[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知ACsinB＝ABsinC，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB＝502m．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习测量距离问题如图3­7­5，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)图3­7­5上一页返回首页下一页高三一轮总复习60[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.在Rt△ADC中，由AD＝46m，∠ACB＝30°得AC＝92m.上一页返回首页下一页高三一轮总复习在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92m，由正弦定理ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，得92sin113°＝BCsin37°，即92sin67°＝BCsin37°，解得BC＝92sin37°sin67°≈60(m)．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练1]江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【导学号：01772134】上一页返回首页下一页高三一轮总复习103[如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习测量高度问题(2015·湖北高考)如图3­7­6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.图3­7­6上一页返回首页下一页高三一轮总复习1006[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练2]如图3­7­7，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．图3­7­7上一页返回首页下一页高三一轮总复习521[如图，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．上一页返回首页下一页高三一轮总复习设OC＝x米，则OA＝33x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝x23＋x2－233x2·cos150°，整理得x＝521，所以此电视塔的高度是521米．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习测量角度问题在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解]设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.3分根据余弦定理，可得BC＝3－12＋22－2×2×3－1cos120°＝6，由正弦定理，得sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC＝26×32＝22，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直.7分上一页返回首页下一页高三一轮总复习于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，又CDsin120°＝BCsin30°，即103t3＝6，得t＝610.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练3]如图3­7­8，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．图3­7­8上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.4分由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.8分由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[思想与方法]解三角形应用题的两种情形(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[易错与防范]1．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（二十三）点击图标进入…