圆锥曲线与方程掌握椭圆的定义标准方程简单的几何性质了解

1圆锥曲线与方程1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．第1课时椭圆1．椭圆的两种定义(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21FF)的点的轨迹叫椭圆，这两个定基础过关知识网络考纲导读高考导航圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a、b、c三者间的关系2点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．(2)椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e，且e的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是．2．椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222byax，其中(0，且2a)(2)焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222bxay，其中a，b满足：．（3）焦点在哪个轴上如何判断？3．椭圆的几何性质(对12222byax,ab0进行讨论)(1)范围：≤x≤，≤y≤(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3)顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4)离心率：e(与的比)，e，e越接近1，椭圆越；e越接近0，椭圆越接近于．(5)焦半径公式：设21,FF分别为椭圆的左、右焦点，),(00yxP是椭圆上一点，则1PF，122PFaPF=。4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：21r＋22r－2r1r2cos＝(2c)2(3)面积：21FPFS＝21r1r2sin＝21·2c|y0|(其中P(00,yx)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆12222byax（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=.)(221||211raraPF故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。典型例题3例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F与抛物线24yx的焦点重合，过1F的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，22CDAB．（1）求椭圆的方程；（2）求过点O、1F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求22FAFB的最大值和最小值．解：（1）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F．设椭圆的方程：)0(12222babyax．解方程组241yxx得C（-1，2），D（1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴11||||22||||FCCDFAAB，12||2FA，∴2(1,)2A．…………2分∴221112ab又1222cba，因此，2211112bb，解得21b并推得22a．故椭圆的方程为2212xy．…………4分（2）2,1,1abc，圆过点O、1F，圆心M在直线12x上．设1(,),2Mt则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，∴13()(2).22r由,OMr得2213(),22t解得2.t4所求圆的方程为2219()(2).24xy…………………………8分（3）由12(1,0),(1,0)FF点①若AB垂直于x轴，则)22,1(),22,1(BA，2222(2,),(2,)22FAFB，2217422FAFB…………………………………………9分②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为)1(xky由022)1(22yxxky得0)1(24)21(2222kxkxk0882k，方程有两个不等的实数根．设),(11yxA，),(22yxB.2221214kkxx,222121)1(2kkxx………………………………11分),1(),,1(222112yxBFyxAF)1)(1()1)(1()1)(1(21221212122xxkxxyyxxBFAF22122121))(1()1(kxxkxxk22222221)214)(1(21)1(2)1(kkkkkkk=)21(29272117222kkk12110,121,0222kkk]27,1[22BFAF，所以当直线l垂于x轴时，BFAF22取得最大值27当直线l与x轴重合时，BFAF22取得最小值1变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件：△ABC5的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W.(1)求W的方程；(2)经过点（0,2）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（3）已知点M（2，0），N（0,1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)设C（x,y）,∵222ACBCAB＋,2AB,∴222ACBC,∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点.∴2,=1ac.∴2221bac.∴W:2212xy(0)y.…(2)设直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程，得22(2)12xkx.整理，得221()22102kxkx.①因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于222184()4202kkk，解得22k或22k.∴满足条件的k的取值范围为22,)(,)22k（（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OPOQ＝（x1+x2，y1+y2),由①得1224212kxxk.②又1212()22yykxx③因为(2,0)M，(0,1)N，所以(2,1)MN.………所以OPOQ与MN共线等价于1212()xxyy=-2.将②③代入上式，解得22k.所以不存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线.例4.已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为63，两条准线间的距离为6.椭6yxOCBAMF圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C.（1）求椭圆W的方程；（2）求证：CFFB(R)；（3）求MBC面积S的最大值.解：（1）设椭圆W的方程为22221xyab，由题意可知22226,3,26,caabcac解得6a，2c，2b，所以椭圆W的方程为22162xy．……………………………………………4分（2）解法1：因为左准线方程为23axc，所以点M坐标为(3,0).于是可设直线l的方程为(3)ykx．22(3),162ykxxy得2222(13)182760kxkxk.由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知2222(18)4(13)(276)0kkk，解得223k．设点A，B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy,则21221813kxxk，212227613kxxk，11(3)ykx，22(3)ykx．因为(2,0)F，11(,)Cxy，所以11(2,)FCxy，22(2,)FBxy.又因为1221(2)(2)()xyxy1221(2)(3)(2)(3)xkxxkx1212[25()12]kxxxx72222541290[12]1313kkkkk2222(5412901236)013kkkkk，所以CFFB．……………………………………………………………10分解法2：因为左准线方程为23axc，所以点M坐标为(3,0).于是可设直线l的方程为(3)ykx，点A，B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy,则点C的坐标为11(,)xy，11(3)ykx，22(3)ykx．由椭圆的第二定义可得22113||||||3||xyFBFCxy,所以B，F，C三点共线，即CFFB．…………………………………10分(3)由题意知1211||||||||22SMFyMFy121||||2MFyy121|()6|2kxxk23||13kk33312233||||kk，当且仅当213k时“=”成立，所以MBC面积S的最大值为32．变式训练4：设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）易知)0,1(),0,1(,1,2,521FFcba8设P（x，y），则1),1(),1(2221yxyxyxPFPF3511544222xxx]5,5[x，0x当，即点P为椭圆短轴端点时，21PFPF有最小值3；当5x，即点P为椭圆长轴端点时，21PFPF有最大值4（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为)5(xky由方程组2222221(54)5012520054(5)xykxkxkykx，得依题意25520(1680)055kk，得当5555k时，设交点C),(),(2211yxDyx、，CD的中点为R),(00yx，则45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200kkkkkxky又|F2C|=|F2D|122RFkk