圆锥曲线方程-双曲线(知识点、典型例题、考点、练习)

用心爱心专心1双曲线知识点一双曲线定义的应用已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．解设F(x，y)为轨迹上任意一点，∵A、B两点在以C，F为焦点的椭圆上∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝2∴F的轨迹方程为：y2－x248＝1(y≤－1)．知识点二求双曲线的标准方程设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5.所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法三若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，再将点A(±15，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．知识点三双曲线在实际中的应用A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．解以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上∵kBC＝－3，BC中点D(－4，3)用心爱心专心2∴直线PD：y－3＝13(x＋4)①又|PB|－|PA|＝4，∴P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P(x，y)则双曲线方程为x24－y25＝1(x＞0)②联立①、②式得x＝8，y＝53，∴P(8,53)，因此kPA＝538－3＝3.故炮击的方位角为北偏东30°.知识点四双曲线几何性质的简单应用已知双曲线渐近线的方程为2x±3y＝0.(1)若双曲线经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)若双曲线的焦距是213，求双曲线方程；(3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程．解(1)设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P(6，2)，∴4×6－9×4＝λ，即λ＝－12∴双曲线的方程为：－x23＋34y2＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．∵c2＝a2＋b2，∴13＝a2＋b2.由渐近线斜率得ba＝23，或ab＝23，故由ba＝23，a2＋b2＝13，或ab＝23，a2＋b2＝13.解得a2＝9，b2＝4，或a2＝4，b2＝9.∴所求双曲线方程为x29－y24＝1，或y24－x29＝1.(3)由(2)所设方程可得：ba＝23，2a＝6.或ab＝23，2a＝6.解得a＝3，b＝2，或a＝3，b＝92.故所求双曲线方程为x29－y24＝1，或y29－4x281＝1.知识点五求双曲线的离心率(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率为________；(2)设双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为________．用心爱心专心3解析(1)当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±bax，依题意，ba＝34，e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋916＝2516，∴e＝54；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±abx，依题意ab＝34，e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋169＝259，∴e＝53.(2)直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.于是有|b·0＋a·0－ab|a2＋b2＝34c，即ab＝34c2.两边平方得16a2b2＝3c4，∴16a2(c2－a2)＝3c4.即3c4－16a2c2＋16a4＝0，∴3e4－16e2＋16＝0.解得e2＝4，或e2＝43，∵ba0，∴b2a21，∴e2＝a2＋b2a2＝1＋b2a22，故e2＝4，∴e＝2.答案(1)53或54(2)2知识点六直线与双曲线直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.解设直线l的方程为y＝2x＋m，由y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由韦达定理，得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．∵|AB|＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16.∴3m2＝70，m＝±2103.∴直线l在y轴上的截距为±2103.用心爱心专心4考题赏析1．(全国Ⅱ高考)设a1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2)B．(2，5)C．(2,5)D．(2，5)解析∵双曲线方程为x2a2－y2(a＋1)2＝1，∴c＝2a2＋2a＋1.∴e＝ca＝2＋1a2＋2a＝1a＋12＋1.又∵a1，∴01a1.∴11a＋12.∴11＋1a24.∴2e5.答案B2．(重庆高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线为y＝kx(k0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为()A.x2a2－y24a2＝1B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1D.x25b2－y2b2＝1解析双曲线的渐近线方程可表示为y＝±bax，由已知可得k＝ba.又离心率e＝1＋ba2＝5k，所以k＝12.即ba＝12，故a＝2b.答案C3．(湖北高考)如图所示，在以点O圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°.曲线C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于22，求直线l斜率的取值范围．解(1)方法一以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0)，B(2,0)，P(3,1)，依题意得||MA|-|MB||用心爱心专心5=|PA||PB|=2222(23)1(23)122|AB|=4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c=2,2a=22，∴a2=2，b2=c2a2=2.∴曲线C的方程为22122xy.方法二同方法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA||MB||=|PA||PB||AB|=4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．设双曲线的方程为22221xyab(a0，b0)，则由222222(3)11,4,abab解得a2=b2=2，∴曲线C的方程为22122xy(2)方法一依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得(1k2)x2-4kx6=0.①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴1－k2≠0，Δ＝(－4k)2＋4×6(1－k2)0，⇔k≠±1，－3k3.∴k∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．②设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝4k1－k2，x1x2＝－61－k2，于是|EF|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2·223－k2|1－k2|.而原点O到直线l的距离d＝21＋k2，∴S△OEF＝12d·|EF|＝12·21＋k2·1＋k2·223－k2|1－k2|＝223－k2|1－k2|.若△OEF的面积不小于22，即S△OEF≥22，则有223－k2|1－k2|≥22⇔k4－k2－2≤0，解得－2≤k≤2.③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．方法二依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，用心爱心专心6∴1－k2≠0，Δ＝(－4k)2＋4×6(1－k2)0，⇔k≠±1，－3k3.∴k∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．②设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝Δ|1－k2|＝223－k2|1－k2|，③当E，F在同一支上时(如图(1)所示)，S△OEF＝|S△ODF－S△ODE|＝12|OD|·(||x1|－|x2||)＝12|OD|·|x1－x2|；当E，F在不同支上时(如图(2)所示)，S△OEF＝S△ODF＋S△ODE＝12|OD|·(|x1|＋|x2|)＝12|OD|·|x1－x2|.综上得S△OEF＝12|OD|·|x1－x2|.于是由|OD|＝2及③式，得S△OEF＝223－k2|1－k2|.若△OEF面积不小于22，即S△OEF≥22，则有223－k2|1－k2|≥22⇔k4－k2－2≤0，解得－2≤k≤2.④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2].1．实轴长为45且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是()A.x220－y216＝1B.y220－x216＝1C.x216－y220＝1D.y216－x220＝1答案B解析由题意知2a＝45，a2＝20，若双曲线焦点在x轴上，则可设方程为x220－y2b2＝1，用心爱心专心7代入点A(2，－5)，得：420－25b2＝1，即－25b2＝1620，矛盾．因此设双曲线的方程为－x2b2＋y220＝1.代入A(2，－5)，得：4b2＝－1＋2520＝14，∴b2＝16.故选B.2．如果双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.2B．2C.3D．22答案A解析因两条渐近线互相垂直．所以两渐近直线的倾斜角为π4、34π.渐近线的方程为y＝±x，∴ba＝1，即a＝b，c＝a2＋b2＝2a，∴e＝2aa＝2.3．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，则双曲线方程为()A．x2－y2＝96B．y2－x2＝160C．x2－y2＝80D．y2－x2＝24答案D解析由题意知双曲线的焦点为(0，±43)，即c2＝48，又因一条渐近线方程为y＝x.所以ab＝1.即a＝b，∴48＝2a2，a2＝b2＝24.故选D.4．F1、F2为双曲线x24－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()A．2B．4C．8D．16答案B解析方程变形为y2－x24＝1，由题意||PF1|－|PF2||＝2①|PF1|2＋|PF2|2＝(25)2②由①式两边平方得：20－2|PF1||PF2|＝4，∴|PF1||PF2|＝8，S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8＝4.5．若方程x2|k|－2＋y25－k＝1表示双