指数函数、对数函数、幂函数增长比较

指数函数、幂函数对数函数增长的比较第一课时一粒米的故事从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿.“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米.”发明者说.“只是几粒米？”国王回答说.“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望.”国王很高兴.“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了.国王想.于是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”……思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？如果一个函数，底数是自变量x,指数是常数，1.幂函数：yx这样的函数称为幂函数.即y=x0在第一象限内，当a0时，图象随x增大而上升当a0时，图象随x增大而下降4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)幂函数的图像a10a1图像22定义域：R值域：（0，+∞）过点（0，1）当x0时y1当x0时0y1当x0时0y1当x0时y1性质是R上的增函数是R上的减函数2.指数函数xya的图像与性质a10a1图象性质定义域：值域：在（0，+∞）上是函数在（0，+∞）上是函数32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011（0,+∞）),(过点（1，0），即当x=1时，y=0增减0y),1(x),1(x0y)1,0(x0y)1,0(x0y3.对数函数y=logax(a0，且a≠1)当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并且对于x＞0，当a越大时，其函数值的增长就越快。xy2xy3指数函数当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的增长就越快。yxOyxOy=log2xy=log2xy=log3xy=log3xy=log5xy=log5x(1,0)对数函数当x＞0，n＞1时，幂函数y=xn是增函数，并且对于x＞1，当n越大时，其函数值的增长就越快。yx-3-2-1O123654321y=x2y=x4幂函数比较函数y=2x,y=x2,y=log2x图像增长快慢y=log2xy=x2y=2x16424思考？对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?对数函数y=log2x增长最慢幂函数y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行在(0,2)，幂函数比指数函数增长快在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快自变量x函数值y=2xy=x100(x0)y=log2x············12101.00700442.00973382.00972580.0100710101024101003.32192811001.27×1030102006.64385623002.04×10905.15×102478.22881875003.27×101507.89×102698.96578437005.26×102103.23×102849.45121119008.45×102702.66×102959.81378129966.70×102996.70×102999.9610001.07×10301103009.965784311001.36×103311.38×1030410.103287812001.72×103618.28×1030710.2288187············借助计算器完成右表对函数y=2x,y=x100(x0),y=log2x的函数值(取近似值)比较x的变化区间函数值的变化量y=2xy=x100(x0)y=log2x(1,10)102310100－13.3219281(10,100)1.27×1030102003.3219281(100,300)2.04×10905.15×102471.5849625(300,500)3.27×101507.89×102690.7369656(500,700)5.26×102103.23×102840.4854268(700,900)8.45×102702.66×102950.3625701(900,1000)1.07×10301103000.1520031(1000,1100)1.36×103311.38×103040.1375035(1100,1200)1.72×103618.28×103070.1255309利用上表完成右表对函数y=2x,y=x100(x0),y=log2x的函数值(取近似值)比较1、随着x的值越大，y=log2x的函数值增长的越来越慢，y=2x和y=x100的函数值增长的越来越快y=log2x增长比y=2x和y=x100要慢的多。2、对函数y=2x和y=x100而言在x比较小时，会存在y=x100比y=2x的增长快的情况。当x比较大时，y=2x比y=x100增长得更快。在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而y=logax的增长速度则越来越慢.因此,总会存在一个x0，.使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数值长非常快,因而常称这种现象为“指数爆炸”现在回答下：国王能满足他吗？[正解]显然是指数函数f(x)＝2x－1(x∈{1,2,3，…，64})的模型，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)＝263≈9.22×1018.假定每1000颗麦子重40克，f(64)≈3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？令第x天,回报为y元方案一:y=40方案二:y=10x(x∈N+)方案三:y=2x-1·0.4(x∈N+)分析•投资7天以下选方案一•投资7－8天以下选方案二•投资8天以上选方案三例2、0.32，log20.3，20.3这三个数之间大小关系是()A.0.32＜20.3＜log20.3;B.0.32＜log20.3＜20.3;C.log20.3＜20.3＜0.32;D.log20.3＜0.32＜20.3;D[例4]若不等式x2－logmx0在0，12内恒成立，求实数m的取值范围．[分析]由x2－logmx0得x2logmx，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．[解析]由x2－logmx0得x2logmx.在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图像，要使x2logmx在0，12内恒成立，只需y＝logmx在0，12内的图像在y＝x2的上方，于是0m1，如图所示．∵x＝12时，y＝x2＝14，∴只要x＝12时，y＝logm12≥14＝logmm14.∴12≤m14，即116≤m.又0m1，∴116≤m1.故所求m的取值范围是116，1.[方法总结]本题主要考查了数形结合和问题转化的思想方法．再见