【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教A版

1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系drdrdr几何观点Δ0Δ0Δ0方程观点量化图形相交相切相离＜＝＞＞＝＜2．圆与圆的位置关系(两圆半径r1、r2，d＝|O1O2|)d＜|r1－r2|d＝|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝r1＋r2d＞r1＋r2量的关系图形内含内切相交外切相离1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[试一试]1．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，又直线x＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝02．(2013·北京东城模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0,则圆心C的坐标为________；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝________.解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k|1＋k2＝1,解得k＝±24，根据切点在第四象限，可得k＝－24.答案：(3,0)－241．圆的切线问题(1)过圆x2＋y2＝r2(r＞0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|MT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝|MC|2－r2(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．1．(2014·泉州模拟)过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x＋y＝0或x－y＝0D．x＋3y＝0或x－3y＝0[练一练]解析：圆x2－4x＋y2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k，则直线方程为y＝kx，则|2k|k2＋1＝2，∴k2＝1，∴k＝±1，∴直线方程为y＝±x.答案：C2．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10B．10或－68C．5或－34D．－68解析：∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为52－42＝3，∵圆心坐标为(1，－2)，∴|5×1－12×－2＋c|13＝3，∴c＝10或c＝－68.答案：B1．(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1，则直线与圆O相交．答案：B2．(2014·江南十校联考)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜1B．－4＜m＜2C．0＜m＜1D．m＜1解析：根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．∵圆x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2，∴d＝|1－0＋m|2＜2，∴|m＋1|＜2，∴－3＜m＜1，由题意知m的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选.C[类题通法]判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[典例](1)(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0[解析]根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.点拨：直线AB与过点(3,1)和圆心(1,0)的连线垂直！(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[解析]最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r2－d2＝222－22＝22.[答案]（1）A（2）22注意：过圆内一点的弦中和该点与圆心连线垂直的弦最段.[类题通法]1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．(2014·济南模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA·OB的值是()A．－12B.12C．－34D．0解析：在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|3，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB＝1×1×cos120°＝－12.[针对训练]答案：A[典例](2014·郑州一检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．[解析]由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2，在直角三角形AO1O2中，(25)2＋(5)2＝m2，∴m＝±5，|AB|＝2×25×55＝4.[答案]4说明什么？在本例条件下求AB所在的直线方程.解：由本例可知m＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.②②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1.当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1.∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1.[类题通法]1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为－2－22＋2－52＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.[针对训练]答案：C[课堂练通考点]1.(2013·青岛一模)圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝33x的位置关系是()A．直线过圆心B．相交C．相切D．相离解析：∵圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径r＝1，∴圆心到直线y＝33x的距离为|3|3＋9＝12＜1＝r，故选.B2.(2013·西安质检)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.12B．1C.22D.2解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝|c|2|c|＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－222＝22，所以弦长为2.答案：D3.(2014·吉林模拟)已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA＋OB|≥33|AB|，那么k的取值范围是()A.3，＋∞B．[2，＋∞)C．[2，22)D．[3，22)解析：当|OA＋OB|＝33|AB|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k＞0)的距离为1，此时k＝2；当k＞2时|OA＋OB|＞33|AB|，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k＜22，综上，k的取值范围为[2，22)，故选.C4.(2014·陕西模拟)已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，∴圆心到直线l的距离d＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P有2个．答案：25．求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．解：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，则n－2m－1＝2－31＋1，m－12＋n－22＝m－42＋n＋12＝r，解得m＝3，n＝1，r＝5，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.