锐角三角函数(公开课)

利用前面的直角三角形的一些性质（如：关于角之间关系的“直角三角形两锐角互余”、关边之间的“勾股定理”等），可以解决一些与直角三角形有关的问题。为了更有效地解决各种测量问题，我们必须深入研究直角三角形的边与角之间的一些关系。25.2锐角三角函数（第1课时）锐角三角函数的定义学习目标1、掌握锐角三角函数的定义2、能根据锐角三角函数的定义进行简单的计算问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.ABC思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即ABC在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长..21ABBC斜边的对边A可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管.在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.21ABC50m30mB'C'综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？21当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；结论当∠A＝45°时呢？探索ABCA'B'C'任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝，那么与有什么关系．你能解释一下吗？ABBC''''BACB∵∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’,''''BAABCBBC.''C'B'ABBABC即这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．结论我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.图19.3.1再认识请在图上标出∠B的对边与邻边1、如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;∠M的对边是__________,∠M的邻边是__________;（第1题）MNPNPNMN练习1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即caAA斜边的对边sin例如，当∠A＝30°时，我们有2130sinsinA当∠A＝45°时，我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c正弦注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”.例1如图（1）（2），在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34ABC135(1)(2).54sin53sin5.34BCACABABCR12222ABACBABBCAt，因此中，由勾股定理得），在解：如图（试着完成图（2）∠A、∠B的对边分别是？新知探索:ABCabc1.你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？cbba2.当∠A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比，∠A的邻边与对边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由.提示：根据相似三角形的性质来说明.参看书P106图24.3.2ab如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cbAA斜边的邻边cosABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即baAAA的邻边的对边tanABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切（cotangent），记作cotA，即abAAA的对边的邻边cotABC斜边c对边a邻边b注意与∠A余弦cosA的区别注意cosA，tanA,cotA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA,cotA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”，“cot”不表示“cot”乘以“A“对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样地，cosA，tanA,cotA也是A的函数.cbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancaAA斜边的对边sin锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.AA的邻边的对边cotA=ab口诀：正对、余邻、弦有斜ABC634cot,43tan54cos,8610.10356sinsin2222BCACAACBCAABACABCABACABCABABBCA，又由勾股定理得，解：例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求∠A和∠B的所有三角函数值．53sinA小结1.我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.2.三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值，只与锐角的大小有关，与三角形边长无关.3.sinA、cosA、tanA、cotA都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解.4.sinA、cosA、tanA、cotA中∠A的角的记号“∠”习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿拉伯数字表示的角,角的记号“∠”不能省略.如sin∠1不能写成sin1.当堂过关1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）(2)cosB=（）(3)sinA=0.6m（）(4)SinB=（）ABBCBCAB√√√×sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，cosB=（）BCAB×542.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C1100当堂过关作业例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．.25tan32cos35sin.55252tan35cos32sin,5232222BCACBABBCBABACBACBCAABACAABBCABCABACABCRt，，，，中，解：在ABC23延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦.