等差数列的求和公式

2.3等差数列前n项和(1)我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题.高斯(1777年-1855年)德国著名数学家观察归纳1+2+3+…+50+51+…+98+99+1001+100=1012+99=1013+98=101……50+51=101(100+1)×100/2=5050探究发现问题：12310010099981获得算法：图案中，第1层到第100层一共有多少颗宝石？50502)1001(100100S问题1：1+2+3+…+n=?123(1)(1)(2)212(1)(1)(1)(1)2nnnnnSnnSnnnSnnnnnS(倒序相加法）解：=a3+an-2=a2+an-1设等差数列{an}的前n项和为Sn,即：a1+an=……似乎与n的奇偶有关问题是一共有多少个a1+annnnaaaaaS1321......1.公式推导a1+a2+a3+a4…+an-2+an-1+an=*,Nqpnmaaaaqpnmqpnm、、、则若设等差数列{an}前n项和为Sn,则nnnaaaaS121为偶数时当n)1(nnnnaaaaS1221)(21nnaanS为奇数时当n)2(nnnnnaaaaaS121211211nS211)(21nnaaan2)(2121211nnnaaaan21naa)(21naan设等差数列{an}的前n项和为Sn,即：Sn=a1+a2+…+anSn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1两式相加得:2Sn=(a1+an)×n......23121nnnaaaaaa2)(1nnaanS算法：倒序相加求和个（（（nnnnnaaaaaaS)))2111等差数列的前n项和公式的另一种推导])1([)2()(1111dnadadaaSn])1([)2()(dnadadaaSnnnnn)1naan（2)1nnaanS（:nSd下两种方式表示的等差数列，我们用以对公差为例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4解得n1＝9，n2＝－3（舍去）因此,等差数列的前9项和是54方程思想知三求二令＝54，由等差数列前n项和公式，得：nS25121516611.{}(1):36,()3220,naaaaaSaS在等差数列中求例已知已知：求(1)解:由已知得：整体思想认识公式2)(1nnaanS36)(2152aa18152aa)(8152aa14418816S2)(1616116aaS例题解析例2：等差数列{an}中,d=4,an=18,Sn=48,求a1的值。dnnnaSn2)1(1解：由an=a1+(n-1)d得：18=a1+(n-1)442)1(841nnna解得：n=4n=6a1=6a1=-2或例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元,那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这等差数列的前n项和的公式吗？分析：方程思想和前n项和公式相结合分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可以得到两个关于首项和公差的关系式，他们是关于首项和公差的二元一次方程，由此可以求得首项和公差，从而得到所求的前n项和的告诉.解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式1(1)2nnnSnad得到111045310201901220adad146ad解方程得2(1)4632nnnSnnn＝213.{},2nannn例已知数列的前n项和为S求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的首项与公差分别是什么？121nnnSaaaa解：1121(1)nnSaaan当n1时：212)]1(21)1[(21221nnnnnssannn当n=1时：231211211sa也满足①式.1{}2.2nnaan数列的通项公式为32.2{}na是以为首项，公差由此可为的等知：列差数列数①244.54....,77.nnnSn例已知等差数列，，3，的前项和为求使得S最大的序号的值【解析】由题意知，等差数列的公差为752(1)551511255()()2714256nnnSnn215nS于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值答案:27练习1、练习2、等差数列－10，－6，－2，2，…的前_____项的和为54？na在等差数列中，120,54,999,.nnaaSn求答案:n=9，或n=-3（舍去）14,541042nndn提示：20+549992n提示：仍是知三求一1.等差数列前n项和Sn公式的推导2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1说明：求和公式的使用-------知三求一.