1.3.1函数的单调性与导数

（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式函数的单调性与导数内容：利用导数研究函数的单调性应用利用导函数判断原函数大致图象利用导数求函数的单调区间从导数的角度解释增减及增减快慢的情况有关含参数的函数单调性问题函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?创设情景:(2)作差f(x1)－f(x2)(作差)用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论研究函数的单调区间你有哪些方法?（1）观察法:观察图象的变化趋势;（2）定义法:讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth()9.86.5vttaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOy=xxyOy=x2xyOy=x3xyOxy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfyox1y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14练习：已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图像的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图像在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴解：的大致形状如右图：()fxABxyo23()yfxxyo12()yfx(A)xyo12()yfx(B)xyo12()yfx(C)xyo12()yfx(D)C设是函数的导函数，的图像如右图所示,则的图像最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx变式训练:xyo'()yfx21''()()()()yxfxfxfxyfx问题：已知函数的图象如图（其中是的导函数）下列四个图象中的图象大致是（）x-11-22-1-212yＣＡＢＣＤ-２-１-１２-２２１-２１-１-１练习书本P26页的第二题2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf108642-2-4-6-8-10-55101520课本P26:练习2:baC例题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf练习书本P26页的第一题1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:2(1)()24;(2)();xfxxxfxex332(3)()3;(4)().fxxxfxxxx总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④求单调区间1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？例题3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a1'0,01yxxxx令解得1'010yxxxx令解得01'yxx单调递增区间为(1,)单调递减区间为(0,1)21ln2yxx的练习:求函数的单调区间。21ln2yxx解：{|0}xx函数的定义域为总结:当遇到三次或三次以上的,或图像很难画出的函数,求函数的单调性问题时，应考虑导数法。①求函数定义域!求'()fx令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间表达单调区间1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？②③325ax-xx-求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证()0(或0)f'x()0(或0)f'x本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx(1)函数的单调性与导数的关系;如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况;数学知识：(2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤:①确定函数y=f(x)的定义域（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）;②求导数f´(x);③得结论:f´(x)且在定义域内的为增区间;f´(x)0且在定义域内的为减区间．数学思想：数形结合和转化思想．(3)由函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则转化为f´(x)≥0在(a,b)上恒成立;若f(x)在区间(a,b)上是减函数,则转化为f´(x)≤0在(a,b)上恒成立.