2.5.2三角形四心的向量表示

2.5.2平面向量应用举例平面几何中的常用向量结论在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，先用a，b表示向量AC→和DB→，当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ABDC三角形四心的向量表示（1）若O是△ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC，则点O是△ABC的心;（2）若G是△ABC所在平面上一点，且满足GA→＋GB→＋GC→＝0,则点G是ABC的心;外重三角形四心的向量表示（3）.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的心；（4）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的心.内垂例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)(ACABOAOP点拨：由得出由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过△ABC的重心。)(ACABOAOP)(ACABAPC变式1、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：由得出故O是△ABC的重心。300POPAPBPCPOPAPOPBPOPCAOBOCO13POPAPBPC13POPAPBPCC变式2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)0[)sinsin(，CACACBABABOAOP点拨：在△ABC中，由正弦定理有令则由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过△ABC的重心。CACBABsinsinCACBABtsinsin)0[)(，tACABtOAOP)(ACABtAP)0[)sinsin(，CACACBABABOAOPC例2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)0[)coscos(2，CACACBABABOCOBOP点拨：取BC的中点D，则由已知条件可得又因为所以所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过△ABC的外心。2OCOBOD)0[)coscos(，CACACBABABDP()()0coscos-+ABBCACBCBCDPBCBCABBACCDPBC)0[)coscos(，CACACBABABDPA外心的向量表示结论2：△ABC所在平面一定点O，动点P满足P点轨迹经过△ABC的外心结论1：O是三角形的外心或OCOBOA222OCOBOA)0[)coscos(2，CACACBABABOCOBOP例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)0[)coscos(，CACACBABABOAOP点拨：由已知等式可知在等式的两边同时乘以即故点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。)0[)coscos(，CACACBABABAPBC()()0coscosABBCACBCBCAPBCBCABBACCBCAP)0[)coscos(，CACACBABABOAOPD变式3、已知O是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心OAOCOCOBOBOA点拨：OAOBOBOC0-OAOBOBOC0-OAOCOB0CAOB同理可得CAOBCBOAABOCD垂心的向量表示结论1：O是△ABC的垂心的充要条件是OAOCOCOBOBOA结论2、动点P满足P点的轨迹经过△ABC的垂心)0[)coscos(，CACACBABABOAOP例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,(a,,b,c是△ABC的A,B,C所对的三边)点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：由已知条件可得同理可得0OCcOBbOAa0++aOAbOAABcOAAC()abcOAbABcAC()abcOBbBAcBC()abcOCbCAcCB则O点一定是△ABC的内心B例5、已知非零向量与满足且，则△ABC为（）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形点拨：从可知的平分线垂直对边BC，故△ABC为等腰三角形；可知cosA=，所以=60°，故△ABC为等边三角形。ABAC0)(BCACACABAB21)(ACACABAB0)(BCACACABABBAC21)(ACACABAB21A从D例6、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心则O点一定是△ABC的内心0CBACCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA四心逐个突破BABCO,,,:,,.OAaOBbOCcBCcbCAabABba则证：设例7、已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:问：O是△ABC的____心。222222||||||||||||.OABCOBCAOCAB化简：222222:||||||||||||.OABCOBCAOCAB由题设222222()()()acbbaccba同理：,.BCOACAOB()0,ABOCbacbcac从而:cbacba得.ABOC垂心课后作业2.预习章末小结1.习题2.5.2