【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念 方程与性质课

第2讲圆锥曲线的概念、方程与性质考向分析核心整合热点精讲考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ圆锥曲线的定义及标准方程14、20(1)10、20(1)11、20(1)10、20(1)圆锥曲线的几何性质74、84420(1)511真题导航1.(2015福建卷,理3)若双曲线E:29x-216y=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()(A)11(B)9(C)5(D)3解析:|PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.B2.(2015新课标全国卷Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:22x-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若1MF·2MF0,则y0的取值范围是()(A)（-33,33）(B)（-36,36）(C)（-223,223）(D)（-233,233）解析:由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(-3,0),F2(3,0),所以1MF=(-3-x0,-y0),2MF=(3-x0,-y0),所以1MF·2MF=20x-3+20y=320y-10,所以-33y033,故选A.A3.(2013新课标全国卷Ⅰ,理10)已知椭圆E:22xa+22yb=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()(A)245x+236y=1(B)236x+227y=1(C)227x+218y=1(D)218x+29y=1D解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点D(1,-1),则kAB=12,x1+x2=2,y1+y2=-2,2211222222221,1,xyabxyab两式相减得12122()()xxxxa+12122()()yyyyb=0,即1212yyxx=-212212()bxxayy,即12=22ba,所以a2=2b2.又因为c=3,所以b2=9,a2=18,椭圆方程为218x+29y=1.故选D.4.(2013新课标全国卷Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()(A)y2=4x或y2=8x(B)y2=2x或y2=8x(C)y2=4x或y2=16x(D)y2=2x或y2=16x解析:设P(0,2),M(x0,y0),则PF=（2p,-2）,PM=(x0,y0-2),由题意知PF⊥PM,因此PF·PM=0,所以02px-2(y0-2)=0.①由|MF|=5知,x0+2p=5,②由点M在C上知20y=2px0,③由①②③联立可得p=2或p=8,因此抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.C5.(2014辽宁卷,理15)已知椭圆C:29x+24y=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.解析:设MN的中点为P,连接F1P和F2P(其中F1,F2是椭圆C的左、右焦点),利用中位线定理可得|AN|+|BN|=2|F1P|+2|F2P|=2×2a=4a=12.答案:126.(2015山东卷,理15)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:22xa+22yb=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.解析:设点A在点B左侧,抛物线C2的焦点为F,则F（0,2p）.联立得22,xpybyxa和22,xpybyxa分别解得A（-2bpa,222bpa）,B（2bpa,222bpa）.因为F为△OAB的垂心,所以AF⊥OB,所以kAF·kOB=-1,即22222bppabpa·ba=-1⇒4b2=5a2⇒4(c2-a2)=5a2⇒22ca=94,所以e=ca=32.答案:32备考指要1.怎么考(1)椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点,常以选择题、填空题的形式考查,有时也在解答题中出现.(2)双曲线的定义、标准方程及几何性质是命题的热点.题型多为客观题,着重考查渐近线与离心率问题,难度中等偏下.(3)抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活选择、填空题,又有综合性较强的解答题.2.怎么办(1)求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法,一是待定系数法,其步骤是:①定位,确定曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程,根据焦点的位置设出相应的曲线的方程;③定值,根据题目条件确定相关的系数.另一种方法是定义法,根据题目的条件,判断是否满足圆锥曲线的定义,若满足,求出相应的a,b,c,p即可求得方程.(2)求解与圆锥曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.(3)求圆锥曲线离心率问题,应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围.核心整合名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a|F1F2|)|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M标准方程22xa+22yb=1(ab0)22xa-22yb=1(a0,b0)y2=2px(p0)图形范围顶点对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称几何性质焦点（2p,0）|x|≤a,|y|≤b|x|≥ax≥0(±a,0)(0,±b)(±a,0)(0,0)(±c,0)名称椭圆双曲线抛物线轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e=ca=221ba(0e1)e=ca=221ba(e1)e=1准线x=-2p几何性质渐近线y=±bax温馨提示(1)椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在复习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系.(3)涉及抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(4)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.热点精讲热点一圆锥曲线的定义与标准方程解析:(1)由椭圆的定义得|PF2|=2,因为|F1F2|=292=27,由余弦定理得cos∠F1PF2=22242(27)242=-12,得∠F1PF2=120°.故选B.【例1】(1)(2015哈尔滨模拟)椭圆29x+22y=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为()(A)90°(B)120°(C)135°(D)150°解析：(2)因为点(2,3)在渐近线y=bax上,所以ba=32,又因为抛物线的准线为x=-7,所以c=7,故a2+b2=7,解得a=2,b=3.故双曲线的方程为24x-23y=1.故选D.(2)(2015天津卷)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()(A)221x-228y=1(B)228x-221y=1(C)23x-24y=1(D)24x-23y=1方法技巧(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2||F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2|||F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合,画出满足题意的草图.举一反三11:(1)已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()(A)28x+22y=1(B)212x+26y=1(C)216x+24y=1(D)220x+25y=1解析:(1)椭圆的离心率e=ca=22aba=32,所以a=2b.所以椭圆方程为x2+4y2=4b2.因为双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,所以渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为（255b,255b）,所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b=4,所以b2=5,所以a2=4b2=20.所以椭圆C的方程为220x+25y=1.故选D.答案:(1)D解析：（2）分别过点A,B作准线的垂线AE,BD,分别交准线于点E,D,则|BF|=|BD|,因为|BC|=2|BF|,所以|BC|=2|BD|,所以∠BCD=30°,又因为|AE|=|AF|=3,所以|AC|=6,即点F是AC的中点,根据题意得p=32,所以抛物线的方程是y2=3x.(2)(2015兰州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是.答案:(2)y2=3x热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2015新课标全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()(A)5(B)2(C)3(D)2解析:(1)设双曲线方程为22xa-22yb=1(a0,b0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,AB=BM=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x轴于H,则∠MBH=60°,BH=a,MH=3a,所以M(2a,3a).将点M的坐标代入双曲线方程22xa-22yb=1,得a=b,所以e=2,故选D.(2)(2015辽宁五校模拟)已知椭圆M:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且|1PF|·|2PF|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=22ab,则椭圆M的离心率e的取值范围是()(A)[33,22](B)[22,1)(C)[33,1)(D)[13,12)解析：(2)因为|PF1||PF2|≤(12||||2PFPF)2=(22a)2=a2,所以2c2≤a2≤3c2,所以2≤22ac≤3,所以13≤e2≤12,解得33≤e≤22.故选A.方法技巧解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.举一反三2-1:(1)(2015海淀区模拟)若双曲线M上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD是正方形,则双曲线M的离心率的取值范围是.解析:(1)由正方形的对称性可知,其对称中心在原点,且在第一象限的顶点坐标为(x,x),所以双曲线的渐近线的斜率k=ba1,离心率e=21()ba2.答案:(1)(2,+∞)(2)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p=.解析：(2)由e=ca=2,得c=2a,b=3a,所以双曲线的渐近线为y=±