【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念、方程与性质课

第2讲圆锥曲线的概念、方程与性质考向分析核心整合热点精讲考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ圆锥曲线的定义及标准方程8、21(1)20(1)101615、20(1)圆锥曲线的几何性质4、94、1045420(1)5真题导航1.(2014新课标全国卷Ⅰ,文4)已知双曲线22xa-23y=1(a0)的离心率为2,则a等于()(A)2(B)62(C)52(D)1解析:已知b2=3,因为ca=2,所以c=2a,所以a2+3=4a2,所以a2=1,所以a=1,故选D.D2.(2013新课标全国卷Ⅱ,文5)设椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()(A)36(B)13(C)12(D)33D解析:Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c(c为半焦距),因为∠PF1F2=30°,所以|PF2|=23c,|PF1|=43c,由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=63c,所以e=ca=33.故选D.3.(2014新课标全国卷Ⅰ,文10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于()(A)1(B)2(C)4(D)8解析:作AM⊥准线l,根据抛物线定义|AF|=|AM|,因为抛物线方程为y2=x,则2p=1,p=12,所以准线l方程为x=-14,则有54x0=x0+14,所以x0=1.故选A.A4.(2015新课标全国卷Ⅱ,文15)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为.解析:因为双曲线的渐近线方程为y=±12x,故可设双曲线为24x-y2=λ(λ0),又双曲线过点(4,3),所以244-(3)2=λ,所以λ=1,故双曲线方程为24x-y2=1.答案:24x-y2=15.(2015新课标全国卷Ⅰ,文16)已知F是双曲线C:x2-28y=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当△APF周长最小时,该三角形的面积为.解析:依题意,双曲线C:x2-28y=1的右焦点为F(3,0),实半轴长a=1,左焦点为M(-3,0),因为P在C的左支上,所以△APF的周长l=|AP|+|PF|+|AF|=|AF|+|AP|+|PM|+2a≥|AF|+|AM|+2a=15+15+2=32,当且仅当A,P,M三点共线且P在A,M中间时取等号,此时直线AM的方程为3x+66y=1,与双曲线的方程联立得P的坐标为(-2,26),此时,△APF的面积为12×6×66-12×6×26=126.答案:126备考指要1.怎么考(1)椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点,常以选择题、填空题的形式考查,有时也在解答题中出现.(2)双曲线的定义、标准方程及几何性质是命题的热点.题型多为客观题,着重考查渐近线与离心率问题,难度中等偏下.(3)抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活选择、填空题,又有综合性较强的解答题.2.怎么办(1)求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法,一是待定系数法,其步骤是:①定位,确定曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程,根据焦点的位置设出相应的曲线的方程;③定值,根据题目条件确定相关的系数.另一种方法是定义法,根据题目的条件,判断是否满足圆锥曲线的定义,若满足,求出相应的a,b,c,p即可求得方程.(2)求解与圆锥曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.(3)求圆锥曲线离心率问题,应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围.核心整合圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M标准方程222210xyabab222210xyabab图形|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a|F1F2|)y2=2px(p0)范围顶点对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称焦点(,0)2p轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e=ca=221ba(0e1)e=ca=221ba(e1)e=1准线2px几何性质渐近线byxa|x|≤a,|y|≤b|x|≥ax≥0(±a,0)(0,0)(±c,0)(±a,0),(0,±b)温馨提示(1)椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在学习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系.(3)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(4)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.热点精讲热点一圆锥曲线的定义与标准方程【例1】(1)(2015哈尔滨模拟)椭圆29x+22y=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为()(A)90°(B)120°(C)135°(D)150°解析:(1)由椭圆的定义得|PF2|=2,因为|F1F2|=292=27,由余弦定理得cos∠F1PF2=22242(27)242=-12,得∠F1PF2=120°.故选B.(2)(2015天津卷)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()(A)29x-213y=1(B)213x-29y=1(C)23x-y2=1(D)x2-23y=1解析：(2)由于双曲线右焦点F(2,0)与圆心重合,且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,故右焦点到渐近线的距离等于圆的半径的长,得b=3,又a2+b2=c2,所以a=1,所以双曲线的方程为x2-23y=1.故选D.方法技巧(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2||F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2|||F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合,画出合理草图.举一反三1-1:(1)已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()(A)28x+22y=1(B)212x+26y=1(C)216x+24y=1(D)220x+25y=1解析:(1)椭圆的离心率e=ca=22aba=32,所以a=2b.所以椭圆方程为x2+4y2=4b2.因为双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,所以渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为(255b,255b),所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b=4,所以b2=5,所以a2=4b2=20.所以椭圆C的方程为220x+25y=1.故选D.答案:(1)D解析：(2)分别过点A,B作准线的垂线AE,BD,分别交准线于点E,D,则|BF|=|BD|,因为|BC|=2|BF|,所以|BC|=2|BD|,所以∠BCD=30°,又因为|AE|=|AF|=3,所以|AC|=6,即点F是AC的中点,根据题意得p=32,所以抛物线的方程是y2=3x.(2)(2015兰州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是.答案:(2)y2=3x热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2014重庆卷)设F1,F2分别为双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()(A)2(B)15(C)3(D)17解析:(1)根据已知条件,知||PF1|-|PF2||=2a,所以4a2=b2-3ab,所以b=4a,双曲线的离心率e=ca=222aba=17,故选D.(2)(2015辽宁五校模拟)已知椭圆M:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且|1PF|·|2PF|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=22ab,则椭圆M的离心率e的取值范围是()(A)[33,22](B)[22,1)(C)[33,1)(D)[13,12)解析:(2)因为|PF1||PF2|≤(122PFPF)2=(22a)2=a2,所以2c2≤a2≤3c2,所以2≤22ac≤3,所以13≤e2≤12,解得33≤e≤22.故选A.方法技巧解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.举一反三21:(1)(2015海淀区模拟)若双曲线M上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD是正方形,则双曲线M的离心率的取值范围是.解析:(1)由正方形的对称性可知,其对称中心在原点,且在第一象限的顶点坐标为(x,x),所以双曲线的渐近线的斜率k=ba1,离心率e=21()ba2.答案:(1)(2,+∞)(2)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p=.解析：(2)由e=ca=2,得c=2a,b=3a,所以双曲线的渐近线为y=±3x.又抛物线的准线方程为x=-2p,联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得A(-2p,32p),B(-2p,-32p),在△AOB中,|AB|=3p,O到AB的距离为2p,因为S△AOB=3,所以12·3p·2p=3,p=2.答案:(2)2【例1】椭圆22xa+22yb=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈[π12,π4],则该椭圆离心率的取值范围为()(A)[22,63](B)[22,32](C)[63,1)(D)[22,1)备选例题解析:设A(x0,y0)(x00,y00),则B(-x0,-y0),因为F(c,0),FA⊥FB,所以(x0-c,y0)·(-x0-c,-y0)=0,所以20x+20y=c2,所以20y=c2-20x,代入椭圆方程得b220x+a2(c2-20x)=a2b2,20x=2222(2)acac,sinα=FAAB=2200()2xcyc=20222ccxc,所以sin2α=12-22221(2)2acacc因为α∈[π12,π4],所以234≤12-22221(2)2acacc≤12,解得22≤e≤63.故选A.【例2】如图所示,F1,F2分别是双曲线C:22xa-22yb=1(a,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是()(A)233(B)62(C)2(D