正弦定理和余弦定理 知识点与题型归纳

1●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题．3.三种题型都有可能出现，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P62知识点一正弦定理2sinsinsinabcRABC(其中R为△ABC外接圆的半径)变形1:2sin,2sin,2sin,aRAbRBcRC变形2：sin,sin,sin,222abcABCRRR2变形3：∶∶∶∶sinAsinBsinC=abc注意：(补充)关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。知识点二余弦定理222222222222222222cos,22cos,2cos,cos,22cos.cos.2bcaAbcabcbcAacbbacacBBaccababCabcCab注意：(补充)（1）关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化。（2）勾股定理是余弦定理的特例（3）在ABC中，222090abcA22290abcA22290abcA用于判断三角形形状《名师一号》P63问题探究问题3判断三角形形状有什么办法？判断三角形形状的两种途径：3一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．知识点三三角形中常见的结论△ABC的面积公式有：①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R；--知两边（或两边的积）及其夹角可求面积③S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．(补充)（1）ABC（2）在三角形中大边对大角，大角对大边．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin,cos()cos,tan()tansincos,cossin2222BCABCABCABCABCA利用ABC及诱导公式可得之（5）在△ABC中的几个充要条件:《名师一号》P63问题探究问题44sinAsinB⇔a2Rb2R⇔ab⇔AB.(补充)coscosABABsinsinABABcoscosABAB若R、sinsin2k或2k(kZ)coscos2k或2k(kZ)《45套》之7--19,sinsincos.BCABCABCA中求角、、的大小。（6）锐角△ABC中的常用结论ABC为锐角三角形02、、ABC2AB2ABsinsin()cos2ABB5coscos()2ABsinB4．解斜三角形的类型《名师一号》P63问题探究问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题？在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．(补充)已知两边和其中一边的对角（如,,abA）用正弦定理或余弦定理均可《名师一号》P63问题探究问题2选用正、余弦定理的原则是什么？若式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6补充:一、正弦定理推导必修5证明思路：转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修52011年陕西高考考查余弦定理的证明18.（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC.证明：（证法一）如图，2cBCACABACAB222ACACABAB222cosACACABAAB222cosbbcAc7即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC（证法二）已知ABC中，,,ABC所对边分别为,,,abc，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则(cos,sin),(,0)CbAbABc，∴222222222||(cos)(sin)cos2cossinaBCbAcbAbAbcAcbA222cosbcbcA，即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC二、例题分析：（一）利用正、余弦定理解三角形例1．（1）《名师一号》P62对点自测1在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．52B．102C.1063D．56解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：asinA＝csinC.8即1032＝c22.∴c＝1063.注意：已知两角及任一边，求其它边或角----正弦定理,解唯一例1．（2）《名师一号》P62对点自测2在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C的大小为________．解析由正弦定理可知sinB＝bsinAa＝3sinπ33＝12，所以B＝π6或5π6(舍去)，(因为ab即A＝π3B所以B＝π6)所以C＝π－A－B＝π－π3－π6＝π2.一解!9变式1:在△ABC中，若b＝3，a＝3，A＝π3，则C的大小为________．答案:sinB1无解!变式2:在ABC中，已知3,2,45abB，解ABC.答案：6260,75,2ACc或62120,15,2ACc两解!变式3:求边c？注意：知道两边和其中一边的对角（如，，abA）解三角形10可用正弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解。两种方法均须注意解的个数！可能有一解、二解、无解，应注意区分．练习:(补充)（2009山东文17）已知函数xxxxfsinsincos2cossin2)(2x在)0(处取最小值。（I）求的值；（Ⅱ）在ABC中，cba,,分别是角A，B，C的对边，已知,23)(,2,1Afba求角C。【解析】（Ⅰ）f(x)＝2sinx1coscossinsin2xxxxxxsinsincoscossinsin＝sin(x+).因为f(x)在x＝时取最小值，所以sin(+)=-1,故sin=1.11又0＜＜，所以＝2，（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+2)=cosx.因为f(A)=cosA=32,且A为△ABC的角，所以A＝6.由正弦定理得sinB＝sinbAa=22,又b＞a，当4B时，,12746BAC当43B时，.12436BAC综上所述，12127CC或[来例2．(补充)若满足条件060C，aBCAB,3的ABC有两个，求a的取值范围.12答案：32a注意：判断三角形解的个数常用方法：(1)在ABC中，已知,,Aab。构造直角三角形判断(2)利用余弦定理判断（一元二次方程正根个数）勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：13图示已知a、b、A，△ABC解的情况．(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：③运用余弦定理转化为关于一元二次方程正根个数问题练习:已知ABC中，若22,2ba，且三角形有两解，求角A的取值范围。14答案：由条件知bsinAa，即22sinA2，∴sinA22，∵ab，∴AB，∴A为锐角，∴0Aπ4.例3．（1）《名师一号》P62对点自测3在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A＜π，∴A＝60°.注意：已知三边，求其它边或角---余弦定理例3．（2）《名师一号》P63高频考点例1(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()15A．5B.5C．2D．1解:由题意知S△ABC＝12AB·BC·sinB，即12＝12×1×2sinB，解得sinB＝22，∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(2)2－2×1×2×－22＝5，解得AC＝5.符合题意．故选B.注意：已知两边夹角，求其它边或角---余弦定理小结:已知与待求涉及三边和一角的关系---余弦定理16例4．（1）《名师一号》P63高频考点例1(1)(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A．－19B.13C．1D.72解:∵3a＝2b，∴由正弦定理得ab＝sinAsinB＝23.∴sin2Asin2B＝49，∴2sin2B－sin2Asin2A＝2×sin2Bsin2A－1＝2×94－1＝92－1＝72.例4．（2）《名师一号》P62对点自测已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，17∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－32，故C＝150°为三角形的最大内角．注意：（1）关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。（2）关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化.注意等价转换!!!练习:(2010·天津理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解:由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc，由题知b2－a2＝－3bc，c2＝23bc，则cosA＝32，又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.18注意：已知三边比例关系---余弦定理（二）三角形的面积例1．（1）《名师一号》P62对点自测6(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．解析由题意及余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2＋16－122×4×c＝12，解得c＝2.所以S＝12bcsinA＝12×4×2×sin60°＝23.故答案为23.注意：知道两边和其中一边的对角（如，，abA）解三角形可用正弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解。两种方法均须注意解的个数！本例用余弦求边更快捷.例1．（2）《名师一号》P63高频考点例319(2014·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝45，求△ABC的面积．解:(1)由题意得1＋cos2A2－1＋cos2B2＝32sin2A－32sin2B，即32sin2A－12cos2A＝32sin2B－12cos2B，sin