正弦定理和余弦定理

[备考方向要明了]1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形边或角中的应用，如2012年天津T6，北京T11等．2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中，如2012年江苏T15等.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.怎么考考什么[归纳·知识整合]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＝asinA＝bsinB＝csinCa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝2RsinA，b＝，c＝②sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bccosB＝cosC＝2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCa2＋c2－b22aca2＋b2－c22abb2Rc2R定理正弦定理余弦定理解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角[探究]1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？提示：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件．2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3．△ABC中，a＝322，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有()BA．1个B．2个C．3个D．0个[自测·牛刀小试][探究]2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)提示：∵cosA与b2＋c2－a2同号，∴当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于()AA．23B．12C．27D．282．(教材习题改编)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()DA．－223B.223C．－63D.634．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．解析：∵cosC＝13，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.435．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．30°或150°利用正、余弦定理解三角形[例1](2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．3———————————————————————————————————————————正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．利用正、余弦定理判断三角形的形状[例2]在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．若将条件改为“sinB＝cosAsinC”，试判断△ABC的形状．解：∵sinB＝cosA·sinC，∴b＝b2＋c2－a22bc·c，即b2＋a2＝c2，∴△ABC为直角三角形．—————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.解：(1)∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．与三角形面积有关的问题[例3](2012·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12＋22－22×1×2＝34，因为0Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝74，故△ABC的面积S＝12acsinB＝12×1×2×74＝74.———————————————————————————————————————————(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．三角形面积的求法3．(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.解：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2个防范——解三角形应注意的问题2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.