正弦定理和余弦定理习题课2

2020/3/3•正弦定理和余弦定理•复习课2020/3/32020/3/32020/3/32020/3/32020/3/32020/3/32020/3/3•基础自测•1．(2010·湖北理)在ΔABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()•[答案]DA．－223B.223C．－63D.632020/3/3[解析]由正弦定理可得15sin60°＝10sinB，∴sinB＝33，又因为ba，所以BA，故B为锐角，cosB＝63.2020/3/322020/3/3•答案：D3．已知△ABC中，b＝2，c＝3，三角形面积S＝32，则角A等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：由S＝12bcsinA可得sinA＝32，∴A＝60°或120°.2020/3/342020/3/32020/3/362020/3/32020/3/3•答案：15．(2010·广东高考)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinC＝_____.解析：在△ABC中，A＋C＝2B，∴B＝60°.又∵sinA＝asinBb＝12，∴A＝30°或150°(舍)，∴C＝90°，即sinC＝1.例1(1)[2011·北京卷]在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________.(2)[2011·四川卷]在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π(1)523(2)C【解析】(1)由正弦定理有：asinA＝bsinB，即a13＝522，得a＝523.(2)根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥12，所以角A的取值范围为0，π3，选择C.2020/3/32020/3/32020/3/32020/3/35．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a＝________[解析]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos120°，即6＝a2＋2－2a·2·－12⇒a＝2或a＝－22(舍去)．2020/3/32020/3/3•9已知在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，求三角形中的最大角及角C的正弦值．•[解析]∵acb，∴角A为最大角，由余弦定理有cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°，∴sinA＝32，再根据正弦定理，有asinA＝csinC，∴sinC＝casinA＝57×32＝5314.2020/3/3•[例2]在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则△ABC外接圆的直径是________．•[分析]三角形外接圆直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A＝60°，只要再能求出边a，问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键．2020/3/3[解析]由题意知，S△ABC＝12bcsinA，所以c＝4.由余弦定理知：a＝b2＋c2－2bccosA＝13，再由正弦定理2R＝asinA＝1332＝2393.即△ABC外接圆的直径是2393.[答案]23932020/3/3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．2020/3/3解析：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或ab＝－1(舍去)．∴S＝12absinC＝12·4·sinπ3＝3.2020/3/3在△ABC中，已知内角∠A＝π3，边BC＝23，设内角∠B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值．2020/3/3解析：(1)在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π.由正弦定理得：AC＝BCsinA·sinB＝23sinπ3sinx＝4sinx，AB＝BCsinA·sinC＝4sin23π－x，x23π，∴y＝AB＋BC＋AC＝4sin23π－x＋23＋4sinx2020/3/3＝23cosx＋6sinx＋23＝43sinx＋π6＋23，其定义域为x0x23π.(2)由(1)得y＝43sinx＋π6＋23，∵0x2π3，∴π6x＋π65π6，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，y取得最大值为63.2020/3/36．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．解析：(1)∵S＝12absinC＝12ab·32＝3，∴ab＝4.①∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝(a＋b)2－12＝4.∴a＋b＝4.②由①②可得a＝2，b＝2.2020/3/3(2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4.∴a＝233，b＝433.∴S＝12absinC＝233.2020/3/3•5．(2011·南京模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.2020/3/3[答案]156[解析]由已知可得∠DBC＝135°，在△DBC中，由正弦定理可得BCsin30°＝CDsin135°，BC＝CDsin30°sin135°＝30×sin30°sin135°＝152，∴AB＝BCtan60°＝152×3＝156.2020/3/36．在△ABC中，已知AC＝3，sinA＋cosA＝2.(1)求sinA的值；(2)若△ABC的面积S＝3，求BC的值．[解析](1)由sinA＋cosA＝2sinA＋π4＝2得sinA＋π4＝1，由此及0Aπ，即π4A＋π45π4，得A＋π4＝π2，故A＝π4，sinA＝22.2020/3/3(2)由S＝12bcsinA＝324c＝3得c＝22，由此及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋8－2×3×22×22＝5，故a＝5，即BC＝5.2020/3/3题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．思维启迪由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．2020/3/3(2009·天津高考)在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．2020/3/3•【思路导引】(1)由正弦定理可求AB；(2)由余弦定理求cosA，进而求结论．【解析】(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA.于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255.于是sinA＝1－cos2A＝55.2020/3/3•【方法探究】(1)正弦、余弦定理是处理三角形有关问题的有力工具，有时还要结合三角形的其他性质来处理，如大角对大边，三角形内角和定理等．•(2)正弦定理中的比值2R在解题中常用．从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.2020/3/3变式训练2已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12.∵0Aπ，∴A＝2π3.2020/3/3(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bcsinA＝3.2020/3/3易错警示8．代数化简或三角运算不当致误试题：(12分)在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ab＝cosBcosA，试确定△ABC的形状．审题视角判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．2020/3/3规范解答解方法一由ab＝cosBcosA，得acosA＝bcosB，∴a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，[3分]∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，[8分]∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．[12分]2020/3/3方法二由ab＝cosBcosA，得sinAsinB＝cosBcosA，[3分]∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.[5分]∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．[12分]批阅笔记(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．2020/3/3•3．已知△ABC顶点的直角坐标为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．•(1)若c＝5，求sinA的值；•(2)若∠A为钝角，求c的取值范围．2020/3/3解析：(1)法一：∵A(3,4)，B(0,0)，∴|AB|＝5.又∵C(c,0)，∴sinB＝45.当c＝5时，|BC|＝5，|AC|＝5－32＋0－42＝25.由正弦定理得|BC|sinA＝|AC|sinB.∴sinA＝|BC||AC|sinB＝255.2020/3/3法二：∵A(3,4)，B(0,0)，∴|AB|＝5.当c＝5时，|BC|＝5.|AC|＝5－32＋0－42＝25.由余弦定理得cosA＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|＝55，sinA＝1－cos2A＝1－552＝255.2020/3/3(2)∵A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，∴|AC|2＝(c－3)2＋42，|BC|2＝c2.由余弦定理得cosA＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|.∵∠A为钝角，∴cosA0，即|AB|2＋|AC|2－|BC|20.∴52＋(c－3)2＋42－c2＝50－6c0.∴c253.2020/3/3(2010·浙江，12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．2020/3/3【解析】(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－14，(3分)及0Cπ，所以sinC＝104.(5分)(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.(7