电子版《新编赞美诗400首》

第五章三角函数、解三角形第六节正弦定理和余弦定理复习热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.asinA＝bsinB＝csinC=2Rb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC[知识能否忆起]——上节课知识回顾热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosB=b2＋c2－a22bccosB＝；cosC＝.2RsinB2RsinC2RsinAsinA∶sinB∶sinCa2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.“AAS、ASA”“ASS”“SSS”“SAS”热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣二、三角形的面积公式1．S＝12a·ha，(ha表示a边上的高)．2．S＝12bcsinA＝＝.3．S＝12(a＋b＋c)·r(r为三角形内切圆半径)．4()()()2abcSppapbpcp、其中12acsinB12absinC热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣在三角形中：①大角对大边，大边对大角；②大角的正弦值较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣[目标早知道]——本节课教学目标题组训练得方法：题型一：利用正弦、余弦定理解三角形题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状题型三：与三角形面积有关的问题热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣利用正弦、余弦定理解三角形【考向探寻】1．利用正弦定理解斜三角形．2．利用余弦定理解斜三角形．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣【典例剖析】(1)(2013·抚顺模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为A.π6B．π3C.π2D．3π2由向量共线得到三边关系，再用余弦定理求解．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(1)解析：由p∥q得a＋cb＝b－ac－a，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12.又0Cπ，∴C＝π3.答案：B热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于A．1B．2C.3－1D．3法一：利用余弦定理求解．法二：利用正弦定理求解．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(2)解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sinπ3＝1sinB，∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由ab，得∠A∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.答案：B热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(3)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝4，C＝2A，cosA＝34.①求sinB；②求b的值．①先求sinA，sinC，cosC，利用sinB＝sin(A＋C)求解；②利用正弦定理求解.热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(3)解：①∵A为△ABC内角，且cosA＝34，∴sinA＝74，又∵C＝2A.∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA＝378，热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝18.∴sinB＝sin(A＋C)＝sinA·cosC＋sinC·cosA＝74×18＋378×34＝5716.②由正弦定理得bsinB＝asinA，∴b＝a·sinBsinA＝4×571674＝5.热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具体判断解的情况，常用方法是根据图形或由“大边对大角”作出判断或用余弦定理列方程求解．(2)三角形中常见的结论①A＋B＋C＝π.②三角形中大边对大角，反之亦然．③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣④三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.⑤在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣【活学活用】1．(1)若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.154B．34C.31516D．1116(2)(2012·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.D145热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【考向探寻】利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣【典例剖析】(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为A．等边三角形B．非等边的等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(1)解析：因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C＝π－B，所以B＝π3，又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，又B＝π3，故△ABC为等边三角形．答案：A热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.①求A的大小；②若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．(2)①正弦定理、条件→cosA＝－12→A的大小；②①中a2＝b2＋c2＋bc→sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC――→条件sinB、sinC的值→判断△ABC的形状热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(2)解：①由已知和正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，A＝120°.②由①知，a2＝b2＋c2＋bc，∴sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，即34＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣又sinB＋sinC＝1，∴sinC＝1－sinB，代入上式，(2sinB－1)2＝0，∴sinB＝12，∴sinB＝sinC＝12.又0°B，C90°，∴B＝C，所以△ABC是等腰的钝角三角形．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣判断三角形形状的方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π这个结论的运用．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣【活学活用】2．(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形AC热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣与三角形面积有关的问题【考向探寻】1．根据已知条件求三角形的面积．2．已知三角形的面积，解三角形．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣【典例剖析】(1)(2013·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且AC→·AB→＝4，则△ABC的面积等于________．由条件得cosA＝12，A＝π3；又由AC→·AB→＝4得bc，故△ABC面积可求．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又0Aπ，∴A＝π3.又AC→·AB→＝bccosA＝12bc＝4，∴bc＝8.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×8×32＝23.答案：23热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(2)(2012·江西高考)(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.①求证：B－C＝π2；②若a＝2，求△ABC的面积．①由已知条件可得sin(B－C)＝1，故可得B－C＝π2；②由已知及①求得B，C，根据正弦定理求得b，c，然后求面积．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(2)①证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a及正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，………………2分∴sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22.整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，∴sin(B－C)＝1，……………………………………4分∵0B，C34π，∴B－C＝π2.………………………………………………5分热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣②解：由①知B－C＝π2，又B＋C＝π－A＝3π4，∴B＝5π8，C＝π8.…………………………………………7分由正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝2sinπ4＝2，∴b＝2sin5π8，c＝2sinπ8.………………………………10分∴S△ABC＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝22sinπ4＝12.…………………………12分热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣(1)三角形的面积经常与正、余弦定理结合在一起考查，解题时要注意方程思想的运用，即通过正、余弦定理建立起方程(组)，进而求得边或角．(2)要熟记常用的面积公式及其变形．热点考向聚焦新课标高考总复习·数学（RJA版）活页作业基础知识回扣【活学活用】3．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2