【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练(含

1【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题25审题技能训练（含解析）一、选择题1．已知向量a、b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于()A．150°B．90°C．60°D．30°[答案]D[审题要点]弄清问题、熟悉问题和转化问题要求向量的夹角，可由cosθ＝aa＋2b|a||a＋2b|求解，这是求向量夹角的常用方法，→由已知可求解a·(a＋2b)＝a2＋2a·b的值．→由已知可求|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2的值，进而可求|a＋2b|的值．→由上述步骤可求得cosθ＝aa＋2b|a||a＋2b|的值．[解析]|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴|a＋2b|＝23，记向量a与向量a＋2b的夹角为θ，则a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ＝2×23cosθ＝43cosθ，又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴43cosθ＝6，cosθ＝32，又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，故选D．2．(文)对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2[答案]D[审题要点]仔细观察会发现f(x)的表达式中“asinx＋bx”有其特殊性，即g(x)＝asinx＋bx为奇函数，这是本题审题第一关键要素，其实从f(1)与f(－1)的提示，也应考虑是否具有奇偶性可用，由此可知f(1)＋f(－1)＝2c；再注意观察细节可以发现c∈Z，从而2c为偶数．[解析]令g(x)＝asinx＋bx，则g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)，∴f(x)＝g(x)＋c.2∴f(1)＋f(－1)＝g(1)＋c＋g(－1)＋c＝2c，∵c∈Z，∴2c为偶数，∵1＋2＝3不是偶数，∴1和2一定不是f(1)与f(－1)的一组值，故选D．(理)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B．(0，12]C．[12，2]D．(0,2][答案]C[审题要点]求a的取值范围，需解给出的不等式，条件中的单调递增为解不等式时脱去函数符号“f”所备，f(x)为偶函数，为化不等式为f(x1)≤f(x2)型而准备．解题思路步骤为：由log12a＝－log2a――→偶函数f2af――→单调递增|log2a|≤1――→隐含a0a的范围[解析]因为log12a＝－log2a且f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)．又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，选C．[方法点拨]注意发掘隐含条件有的题目条件不甚明显，而寓于概念、存于性质或含于图中，审题时，注意深入挖掘这些隐含条件和信息，就可避免因忽视隐含条件而出现的错误．3．(文)(2014·浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2[答案]D3[审题要点]――→分析三视图组合体――→形状特征长方体和直三棱柱――→数据特征长方体的长、宽、高为4、6、3；直棱柱底面直角三角形两直角边长4、3，棱柱高为3――――――――――――→选择表面积公式或计算方法注意公共部分表面积[解析]由三视图知该几何体是一个直三棱柱与长方体的组合体，长方体长、宽、高分别为4cm,6cm,3cm，直棱柱高为3cm，底面为直角三角形，两直角边长为3cm、4cm，∴几何体的表面积为S＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2×12×3×4＝138cm2，选D．(理)若函数f(x)＝dax2＋bx＋c(a、b、c、d∈R)的图象如图所示，则abcd＝()A．－8)B．－－8)C．－D．[答案]B[解析]∵f(x)的图象以x＝1和x＝5为渐近线，∴1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴－ba＝6，ca＝5.∴c＝5a，b＝－6a；∵图象过点(3,2)，∴d9a＋3b＋c＝2，∴d＝－8a，∴abcd＝a－6aa－8a)＝－－8)．[方法点拨]注重挖掘图形信息：在一些高考数学试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供的信息来解决问题．题目中未给出图形的，可画出图形，借助图形分析探寻解题途径．4．(文)(2014·福州市质检)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()4A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝cosxxC．f(x)＝xcosxD．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)[答案]C[解析]注意到题中所给曲线关于原点对称，因此相应的函数是奇函数，选项D不正确；对于A，f′(x)＝1＋cosx≥0，因此函数f(x)＝x＋sinx是增函数，选项A不正确；对于B，由于f(x)的图象过原点，因此选项B不正确．综上所述知选C．(理)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A．23B．33C．23D．13[答案]A[解析]解法1：如图，连接C1O，过C作CM⊥C1O.∵BD⊥平面C1CO，∴BD⊥CM，∴CM⊥平面BC1D∴∠CDM即为CD与平面BDC1所成的角令AB＝1，∴AA1＝2，CO＝22，C1O＝22＋222＝92＝322，CM·C1O＝CC1·CO，即322CM＝2·22，∴CM＝23，5∴sin∠CDM＝CMCD＝23.解法2：以D为原点DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC→＝(0,1,0)，DB→＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DB→＝0，n·DC1→＝0，∴x＋y＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，则x＝2，z＝1，∴n＝(2，－2,1)，设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC→〉|＝|n·DC→||n|·|DC→|＝23.5．(2015·郑州市质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值mn＝()A．1B．13C．29D．38[答案]D[解析]由茎叶图知乙的中位数为32＋342＝33，故m＝3，∴甲的平均数为13(27＋33＋39)＝33，∴14(n＋2＋4＋8＋20＋30×3)＝33，解得n＝8，∴mn＝38.[方法点拨]注意读图识表，挖掘图表数据：在数据题目的图表数据中包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．审题时认真观察分析图表、数据的特征和规6律，可为问题解决提供有效的途径．6．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1、x2∈D(x1≠x2)，都有f(x1＋x22)fx1＋fx22，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为()A．y＝log2xB．y＝xC．y＝x2D．y＝x3[答案]C[解析]观察图象可知选C．C的正确性证明如下：欲证f(x1＋x22)fx1＋fx22，即证(x1＋x22)2x21＋x222，即证(x1＋x2)22x21＋2x22，即证(x1－x2)20.此式显然成立．故原不等式得证．[方法点拨]注意对新定义的理解与转化：遇到新定义问题，要先弄清楚新定义的含义，将其用学过的熟知的数学知识加以转化，然后在新背景下用相应的数学知识方法解决．7．(文)设P、Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P、Q两点间的最大距离是()A．52B．46＋2C．7＋2D．62[答案]D[解析]由圆的性质可知P、Q两点间的最大距离为圆心A(0,6)到椭圆上的点的最大距离与圆的半径之和，设Q(x，y)，则AQ2＝x2＋(y－6)2＝10－10y2＋y2－12y＋36＝46－9y2－12y＝－9(y＋23)2＋50，当y＝23时，|AQ|max＝52，∴|PQ|max＝52＋2＝62.(理)(2014·福建文，11)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A．5B．29C．37D．49[答案]C[解析]可行域如图：7圆心C(a，b)，则|b|＝1，由图知b＝1，而当y＝1时，由y＝7－x知x＝6，所以a2＋b2最大值为62＋12＝37.8．(文)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．24B．36C．48D．12[答案]B[解析]正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着一个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，一条体对角线无满足要求的平面∴共有36个．(理)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积．如果数列{an}既是“等和数列”，又是“等积数列”，且公和与公积是同一个非零常数m，则()A．数列{an}不存在B．数列{an}有且仅有一个C．数列{an}有无数个，m可取任意常数D．当m∈(－∞，0]∪[4，＋∞)时，这样的数列{an}存在[答案]D[解析]由题设an＋an＋1＝m，an·an＋1＝m，对任意正整数n都成立，则an与an＋1是一元二次方程x2－mx＋m＝0的两实数根，∴Δ＝m2－4m≥0，∴m≥4或m≤0，故这样的数列{an}，当m≥4或m≤0时存在，但当0m4时不存在．二、填空题9．(文)(2014·乌鲁木齐诊断)已知数列{an}、{bn}都是等差数列，Sn、Tn分别是它们的前n项和，且SnTn＝7n＋1n＋3，则a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16的值为________．[答案]315[解析]a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝a11＋a12b11＋b12＝a11＋a12b11＋b128＝a1＋a222b1＋b222＝S22T22＝7×22＋122＋3＝315.(理)(2014·郑州市质检)我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为2的共有________个.[答案]21[分析]由北斗数的定义分类，个数、十位、百位数字之和为5，则0＋0＋5＝0＋1＋4＝0＋2＋3＝1＋1＋3＝2＋2＋1，共5类．[解析]个、十、百位上的数字为0、0、5，共3个，个、十、百位上数字为0、1、4，共A33＝6个；个、十、百位上数字0、2、3，共A33＝6个；个、十、百位上数字为1、1、3，共3个；个、十、百位上数字为2、2、1，共3个，故共有21个．10．已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析]考查归纳推理．f1(x)＝f(x)＝x1＋x，f2(x)＝f(f1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝11＋2x，f3(x)＝f(f2(x))