工程流体力学+第七章理想不可压缩流体的有...

工程流体力学第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。第一节流体流动的连续性方程当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。对于一定的控制体，必须满足式（3－22）。它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。图7-1微元六面体设该微元六面体中心点O（x,y,z）上流体质点的速度为、、，密度为，于是和轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。xvyvzv在方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为：x（a）dydzdxvxvxx2单位时间通过ABCD面流出的流体质量：（b）dydzdxvxvxx2则在方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即dxdydzvxx（c1）xx同理可得和方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为:yzdxdydzvyydxdydzvzz（c2）（c3）因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为:dxdydzvzvyvxdAvzyxnCS（c）微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：dxdydztdxdydztdVtCVCV（d）将式（c），（d）代入式（7-1），取→0，则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为:dxdydz0tvzvyvxzyx0)(tv或（7-1）（7-1a）连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。在定常流动中，由于0t0zyxvzvyvx（7-2）0zvyvxvzyx（7-3）0v或（7-3a）对于不可压缩流体（=常数）在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为：0)()(1)(1zrvzvrvrrrt(7-4)对于不可压缩流体01rvzvvrrvrzr(7-4a)式中为极径；为极角。r球坐标系中的表示式为:)sin(sin1)(122vrrrvrtr0)(sin1vr(7-5)0cot2sin11rvrvvrvrrvrr（7-5a）式中为径矩；为纬度；为径度。r【例7-1】已知不可压缩流体运动速度在，两个轴方向的分量为，。且在处，有。试求轴方向的速度分量。【解】对不可压缩流体连续性方程为：0zvyvxvzyx将已知条件代入上式，有044zvyxzyxzvz44),()(4yxfzyxvz又由已知条件对任何，，当时，。故有0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv第二节流体微团的运动分析流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。图7-2流体微团运动速度分量222zzzzEvvvdxdydzvxyz222yyyyEvvvdxdydzvxyz222xxxxEvvvdxdydzvxyz如图7-2所示，在流场中任取一微元平行六面体，其边长分别为dx、dy、dz，微元体中心点沿三个坐标轴的速度分量为、、。顶点E的速度分量可按照泰勒级数展开，略去二阶以上无穷小项求得，如图。xvyvzv为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动，如图7-3。该平面经过微元平行六面体的中心点且平行于xoy面。由于流体微团各个点的速度不一样，在dt时间间隔中经过移动、转动和变形运动（包括角变形运动和线变形运动），流体微团的位置和形状都发生了变化。具体分析如下：22yyyvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy图7-3流体微团的平面运动（1）移动：由图7-3看出，A、B、C、D各点速度分量中都含有、项，如果只考虑这两项，则经过时间dt，矩形ABCD向右移动的距离，向上移动的距离。移动到新位置后，形状保持不变，如图7-4(a)所示。（2）线变形运动：如果只考虑AB边和CD边在x轴方向上的速度差，则经过时间dt，AD边和BC边在x轴方向上伸长了的距离；如果只考虑AD边和BC边在y轴方向上的速度差，则经过时间dt，根据连续性条件，AB边和CD边在y轴方向上缩短了的距离，这就是流体微团的线变形，如图7-4(b)。每秒钟单位长度的伸长或缩短量称为线应变速度，在x轴方向的线应变速度分量为：同样可得在y轴方向和z轴方向的分量分别为、。xvyvdtvxdtvy22dxxvxdtdxxvx2222dyyvydtdyyvy22xvdtdxdtdxxvxx2222yvyzvz图7-4流体微团平面运动的分析（3）角变形运动和旋转运动：如图7-4（c）、（d）所示，取图7-3中的来分析。如果只考虑B′点和A″在y轴方向上的速度差，则经过时间dt，B′点运动到B″点，运动距离为，使A″B′边产生了角变形运动，变形角度为；如果只考虑D′点和A″点在x轴方向上的速度差，则经过时间dt，D′点运动到D″点，运动距离为,使A″D′边产生了角变形运动，变形角度为。变形角可按下列公式求得。412dxxvydtdxxvy2d2dyyvxdtdyyvx2ddtxvdxdtdxxvtgddyy22dtyvdydtdyyvtgddxx22变形角速度为：xvdtdtxvdtdyyyvdtdtyvdtdxx上面只考虑了角变形运动，实际上流体微团在运动中变形和旋转是同时完成的。设流体微团旋转角度为，变形角度为，如图7-4(d)所示dddddddd①②由①、②式可得：ddd21ddd21如果，则，，也就是只发生了角变形运动，矩形变成了平行四边形。如果，则，矩形ABCD各边都向逆时针旋转了同一微元角度，矩形只发生旋转运动，形状不变。一般情况是，即，矩形ABCD在发生旋转运动的同时，还要发生角变形运动，结果也变成了平行四边形。xvyvyxdd0dxvyvyx0ddxvyvyxdd在旋转运动中，流体微团的旋转角速度定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。于是流体微团沿z轴的旋转角速度分量：yvxvdtddtddtdxyz2121同理，可求得流体微团沿x轴和y轴的旋转角速度分量和。于是，流体微团的旋转角速度分量为：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx写成矢量形式为：zyxzyxvvvzyxkjiVkji2121xy(7-6)（7-8）在角变形运动中，流体微团的角变形速度定义为每秒内一个直角的角度变化量，则在xoy面内的角变形是。于是流体微团在垂直于z轴的平面上的角变形速度分量，即同样可求得在垂直于x轴和y轴的平面上的角变形速度分量之半和。于是，流体微团的角变形速度之半的分量是:ddd2dtddtdz2yvxvdtddtdxyz2121xyyvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121(7-9)如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项和，其值不变。经过简单组合，可将该式写成:2)(212)(212)(212)(212dyyvxvdzxvzvdzxvzvdyyvxvdxxvvvxyzxzxxyxxxE同理，有:2)(212)(212)(212)(2122)(212)(212)(212)(212dxxvzvdyzvyvdyzvyvdxxvzvdzzvvvdzzvyvdxyvxvdxyvxvdzzvyvdyyvvvzxyzyzzxzzzEyzxyxyyzyyyE将式（7-6），（7-9）代入以上三式，得)22()22(2)22()22(2)22()22(2dxdydydxdzzvvvdzdxdxdzdyyvvvdydzdzdydxxvvvyxxyzzzExzzxyyyEzyyzxxxE上式中，各速度分量的第一项是移动速度分量，第二、三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量。此关系也称为亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理，该定理可简述为：在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分，与O点相同的平移速度（移运）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响。由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分成无旋运动和有旋运动。正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体变形速度与流体应力联系起来，这对于粘性流体运动规律的研究有重大的影响。第三节有旋流动和无旋流动根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。数学条件：当021V021V当无旋流动有旋流动通常以是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的判别条件。V在笛卡儿坐标系中：kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz（7-11）即当流场速度同时满足：zvyvyzxvzvzxyvxvxy时流动无旋需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。如图7-5（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图7-5（b）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。（a）（b）图7-5流体微团运动轨迹【例7-2】某一流动速度场为，，其中是不为零的常数，流线是平行于轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动