3.1.2好《两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用和辅助角公式》(第2课时) 课件

3.1.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.1.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．2．能利用辅助角公式研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的性质．cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossintantan:tan()1tantanTtantan:tan()1tantanTsin()sincoscossin运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．例如，化简：sinπ4－3xcosπ3－3x－cosπ6＋3x·sinπ4＋3x.解原式＝sinπ4－3xcosπ3－3x－sinπ3－3x·cosπ4－3x＝sinπ4－3x－π3－3x＝sinπ4－π3＝sinπ4cosπ3－cosπ4sinπ3＝22×12－22×32＝2－64.例1化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°.解(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝22.(2)(tan10°－3)cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°cos10°sin50°＝sin－50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.小结解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．例1化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°.练习1(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；解(1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.例2已知sin(2α＋β)＝3sinβ，求证：tan(α＋β)＝2tanα.证明sin(2α＋β)＝3sinβ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα⇒2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα⇒tan(α＋β)＝2tanα.小结证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．练习2证明：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.证明sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sin2α＋β－2sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋β＋α]－2sinαcosα＋βsinα＝sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2sinαcosα＋βsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.所以原等式成立．探究:（1）求31sin15cos1522的值（2）求31sincos22yxx的值域（3）求3sincosyxx的值域（4）求3sin4cosyxx的值域（5）求sincosyaxbx的值域练习：sincosyxx求的值域22222222222222sincos(sincos)(sincoscossin)sin()(sincos)yaxbxabyabxxabababxxabxbaabab化简，得其中＝，＝辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)使asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．问题1将下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A0，ω0，|φ|π2.(1)sinx＋cosx＝；(2)sinx－cosx＝；2sinx＋π42sinx－π4(3)3sinx＋cosx＝；(4)3sinx－cosx＝；(5)sinx＋3cosx＝；(6)sinx－3cosx＝.2sinx＋π62sinx－π62sinx＋π32sinx－π3辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)使asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．问题1将下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A0，ω0，|φ|π2.例3化简下列各式：(1)315sinx＋35cosx；(2)24sinπ4－x＋64cosπ4－x.解(1)315sinx＋35cosx＝6532sinx＋12cosx＝65cosπ6sinx＋sinπ6cosx＝65sinx＋π6.(2)24sinπ4－x＋64cosπ4－x＝2212sinπ4－x＋32cosπ4－x＝22sinπ4－xcosπ3＋cosπ4－xsinπ3＝22sin712π－x.小结辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)可以把含sinx、cosx的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tanφ＝ba确定．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的性质都要用到该公式．例3化简下列各式：(2)24sinπ4－x＋64cosπ4－x.练习3已知函数f(x)＝3cos2x－sin2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)f(x)＝－sin2x＋3cos2x＝－212sin2x－32cos2x＝－2sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＝－2sin2x－π3，x∈R.∴T＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]．(2)由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z.∴函数的单调递增区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z).1．sin69°cos99°－cos69°sin99°的值为()A.12B．－12C.32D．－32解析原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－12.B2．在△ABC中，A＝π4，cosB＝1010，则sinC等于()A.255B．－255C.55D．－55解析sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝22(cosB＋1－cos2B)＝22×1010＋31010＝255.A3．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈R)的值域是．解析f(x)＝212sinx－32cosx＝2sinx－π3.∴f(x)∈[－2,2]．[－2,2]4．已知锐角α、β满足sinα＝255，cosβ＝1010，则α＋β＝.解析∵α，β为锐角，sinα＝255，cosβ＝1010，∴cosα＝55，sinβ＝31010.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝55×1010－255×31010＝－22.∵0α＋βπ，∴α＋β＝3π4.3π42．运用辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)时不必死记结论，重在理解运用两角和与差正、余弦公式进行转化化归的思想.1．要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式，注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．13cossin,22f(x)xxf(x)f(x)已知函数=（1）求的最小正周期及最大值；（2）求的单调递增区间。解：（1）由已知(2)()cos,2],342,2;3334,233xfxzkkkkkxkkk、令z=,由的单调递增区间为[2由2x+解得2因此，f(x)的单调递增区间为[2].cossinsin33xxf(x)=coscos(),3x()2;fxT则的最小正周期为最大值为1.敬请指导.