椭圆的焦半径公式(已修好)

蔡永霞2006.12.10•教学目标•1)能推导并掌握椭圆焦半径公式,能应用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题2)能应用椭圆的焦半径有关知识解决实际应用问题3)能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参数取植范围问题P（x0，y0）是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径，求证∣PF左∣＝a+ex0∣PF右∣＝a-ex0，12222byax例1证明:yoP(x0,y0)xF1(-C,0)F1(C,0)d1d2由题意得d1=x0+ca2d2=ca2-x0又:11dPF=22dPF=e=ac∴1PF=ed1=e(x0+ca2)=2PF=ed2=e(-x0)=ca2a+ex0a-ex0(法一)(法二):利用两点距离公式焦半径：1)P（x0，y0）是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径∣PF左∣＝a+ex0，∣PF右∣＝a-ex02)AB过焦点的弦,左AB=2a+e(XA+XB)右AB=2a-e(XA+XB)Rmax=a+cRmin=a-c3)通经:过焦点且与长轴垂直的弦dd=ab22(当焦点在y轴上时-----------)•例2:在椭圆252x+92y=1求一点P使它到左焦点距离是到右焦点距离的2倍.解:设P(x0,y0)由题意得a=5c=4e=左PF=54a+ex0=5+54x00exaPF右=5-54x0又左PF=2右PF∴5+X054=2(5-X0)54∴X0=1225代入252x+92y=1得:y0=±4119所以P(,)4119±1225012222babyax上三点A、B、C的横坐标分别XAXB、、XC,若焦半径AF、•例3:椭圆BF、CF成等差数列,求证:XAXBXC成等差数列.、、证明:当F是左焦点时有AF=a+exABF=a+exBCF=a+exc又2BF=AF+CF∴2(a+exB)=(a+exA)+(a+exc)即:2XB=XA+XC所以XA、XB、XC成等差数列•例4:若椭圆的焦半径最大值为16,最小值为4,求•椭圆的标准方程.•解:由已知设椭圆的长轴长2a短轴长2b焦距2c•则a-c=4•a+c=16所以a=10c=6b=8•当焦点在X轴上时16410022yx当焦点在Y轴上时11006422yx•练习1:已知直线L过椭圆13422yx的左焦点且与椭圆交于A、B两点,已知AB中点M横坐标为21,求AB的长.解:(法一):XYABMXA+XB=2X0=－1又a=2c=1∴e=21∴AB2a+e(xA+xB)=4+21×(-1)=27(法二)利用弦长公式:2:已知椭圆13422yx,能否在椭圆位于Y轴左侧的部分找到一点M,使M到左准线的距离是它到两焦点F1、F2距离的等比中项?并说明理由.F1F2M(x0,y0)NLXY解:假设存在满足已知条件的点M,设M(x0,y0)又:a=2e=21又:MNMF1=e=21001212xexaMF002212xexaMF)212(2201XMFMN又212MFMFMN•.∴4(2+21x0)2=(2+x0)(2-x0)2121x0=522512又-2≦X0∴0∴不存在X0即不存在点M(X0,Y0)满足已知条件应用：1、已知P为椭圆上的点，且P与两焦点的连线互相垂直，求点P的坐标。变式：当∠F1PF2为钝角时，求P的横坐标的取值范围•2、已知椭圆，设F1、F2分别为它的左右焦点，P为椭圆上一点，求的最小值及F点的坐标。1522yx21PFPF小结：1、焦半径的定义。2、焦半径的公式。3、焦半径的范围。4、焦半径的应用。已知椭圆（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的焦点，与左焦点F1对应的准线是l1，若椭圆上存在点P，使∣PF1∣、P到l1的距离d、∣PF2∣成等比数列，求椭圆离心率e的取值范围