椭圆的知识点例题解析

椭圆知识点：1曲线与方程：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。2求曲线的方程的步骤如下：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；3椭圆：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点。两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。注意:|PF1|+|PF2|=2a2c（因为连接椭圆上的点和两个焦点构成三角形，三角形的两边之和大于第三边）第二定义:到定点的距离和到定直线的距离之比是常数:e=c/a(0e1)的点的轨迹.4椭圆的标准方程：(1)x2a2+y2b2=1（ab0）(焦点为F1(−c,0),F2(c,0),即焦点在X轴)（2y2a2+x2b2=1（ab0）(焦点为F1(0,−c),F2(0,c),即焦点在y轴)c2=a2−b2注：焦点在X轴还是Y轴关键看分母大小分母大的分子是X就是X轴，否则为Y轴ePQPF＝25椭圆的简单几何性质（1）范围：椭圆上点的横坐标的范围为-a≤x≤a,纵坐标的范围为−b≤y≤b.即椭圆位于直线x=±a和±b所围成的矩形框里（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，x轴和y轴都是对称轴，原点是对称中心，对称中心也叫做椭圆的中心（3）顶点:A1(−a,0),A2(a,0)B1(0,−b)B2(0,b)即椭圆与坐标轴的交点，叫做椭圆的顶点，线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴和短半轴（4）离心率：e=c/a因为ac0.所以0e1.E越接近1，则c越接近a，从而b=√a2−c2越小，因此椭圆越扁，反之e越接近于0.c越接近于0.从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形为圆，它的方程为x2+y2=a2总结如下表：标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay图形焦点坐标(-c,0)和(c,0)(0,-c)和(0,c)范围对称性坐标轴是对称轴;原点是对称中心,叫椭圆的中心坐标轴是对称轴;原点是对称中心,叫椭圆的中心顶点(±a,0)和(0,±b)(±b,0)和(0,±a)离心率e=c/a（0＜e＜1，且e越小，椭圆越接近圆）（0＜e＜1，且e越小，椭圆越接近圆）准线题型一：.椭圆的判断1通过方程判断是否是椭圆例1：判断下列方程是否表示椭圆解析：（1）不是，由于a=b=2，不满足ab（2）是，(a=2,b=c=√2）由于a=2b=√2,,axabyb,ayabxbcax2cay2122)1(22yx124)2(22yxc2=a2−b22.通过定义来判断是否是椭圆例：若动点M到F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2,则M的轨迹是__A.椭圆B.直线F1F2C.线段F1F2D.直线F1F2的中垂线【总结】：若|MF1|+|MF2|=2a（2a是常数当2a|F1F2|时，点M的轨迹是__椭圆______；当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是__线段F1F2__；当2a|F1F2|时，点M的轨迹是_不存在_______.注:方程Ax2+By2=1在A,B0且A≠B时表示椭圆堂上练习：1(x−2)236+y218=3220x2+15y2=1【解析】：都是椭圆方程，第一个的中心为（2,0）而不是原点，第二个是椭圆方程的一般形式mx2+ny2=1(m,n0,m≠n)题型二：已知椭圆的标准方程求半长轴a,半短轴b,焦距2c,离心率e,准线等考点：椭圆的几何性质例：已知椭圆y2100+x236=1,求椭圆的长轴，短轴，焦距，和离心率【解析】：a2=100,b2=36,a=10,b=6c2=a2−-b2=64,c=8长轴2a=20,短轴2b=12,焦距2c=16离心率e=e=c/a=0.8【总结】:熟悉a,b,c,e之间的关系;c2=a2−b2,e=a/c堂上练习：(2009北京理12文13)椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF；12FPF的大小为.[解析]12,120.椭圆第二定义.22927cab，∴1227FF，xy0ABCMD5又1124,26PFPFPFa，∴22PF.由余弦定理，得2221224271cos2242FPF，∴12120FPF2(2010广东文7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A．45B．35C．25D．15[解析]B.题型三：求曲线的轨迹1根据椭圆的定义求解椭圆的标准方程例1：动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MDMC）。解：如图，MDMC，∴26MBMADBMBMAAC即∴8MBMA（*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为1151622yx【解题技巧】：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222yxyx，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！堂上练习：2根据椭圆的性质求解椭圆的方程：即通过a,b,c,e之间的关系求解a,b直接代入椭圆的方程例1(2009广东理11)巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．Gx32GGG[解析]，，，，则所求椭圆方程为.【方法总结】用求椭圆标准方程的步骤：(1)确定焦点位置，设椭圆的标准方程(2)求a,b（常建立方程组）(3)下结论（适用于已知曲线的类型，比如在这里就已知曲线是椭圆。）注：1.当焦点位置不确定时，应分类讨论；2.椭圆的一般方程为mx2+ny2=1(m,n0,m≠n)c2=a2−b2,e=a/c3相关点法求解曲线的轨迹：例1知圆122yx，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点M的坐标为),(yx，点P的坐标为),(00yx，则20xx，0yy．因为),(00yxP在圆122yx上，所以12020yx．将xx20，yy0代入方程12020yx得1422yx．所以点M的轨迹是一个椭圆1422yx．解题技巧：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(yx，设已知轨迹上的点的坐标为),(00yx，然后根据题目要求，使x，y与0x，0y建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x和0y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．23e122a6a3b193622yx例2：已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121①－②得0221212121yyyyxxxx．由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将③④代入得022121xxyyyx．⑤（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：2222212221yyxx，⑦，将③④平方并整理得212222124xxxxx，⑧，212222124yyyyy，⑨将⑧⑨代入⑦得：224424212212yyyxxx，⑩再将212121xxyy代入⑩式得：221242212212xxyxxx，即12122yx．【方法总结】（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)为最简形式；（这是求曲线方程的万能的方法，但如果已经知道曲线的类型，比如椭圆，双曲线，圆，抛物线等等，再适用这种方法就不是明智的选择，比如椭圆的方程就是通过这种方法推出其标准形式，因此直接应用该标准形式就可以，节约推导时间。）堂上练习：1已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．2以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F．点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（－9，6），直线2FF的方程为032yx．解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（－5，4）．此时21MFMF最小．所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，∴53a，又3c，∴3635322222cab．因此，所求椭圆的方程为1364522yx．题型四：椭圆与最值和取值范围1(2010福建文11)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为A．2B．3C．6D．8[解析]C.把表达式用一个参数的函数表示即可.由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，因为，，所以==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值【方法总结】也可以使用三角换元来求最值，本质与上面的方法相同。常常